Para un vector aleatorio \(\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)^T\):
\[
\boldsymbol{\mu} = \mathbb{E}[\mathbf{X}] = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix}, \qquad
\boldsymbol{\Sigma} = \operatorname{cov}(\mathbf{X}) = \mathbb{E}[(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^T]
\]
\(\boldsymbol{\Sigma}\) es simétrica y semidefinida positiva.
Propiedades:
- \(\mathbb{E}[A\mathbf{X}] = A\boldsymbol{\mu}\)
- \(\operatorname{cov}(A\mathbf{X}) = A\boldsymbol{\Sigma}A^T\)
- \(\operatorname{vartot}(\mathbf{X}) = \operatorname{tr}(\boldsymbol{\Sigma}) = \sum_i \sigma_i^2 = \sum_i \lambda_i\)
La variación total es la suma de las varianzas, igual a la suma de los valores propios.
¿Qué significa que la matriz de covarianzas sea diagonal?
Si \(\boldsymbol{\Sigma}\) es diagonal, todas las covarianzas son cero: las variables están no correlacionadas. Pero cuidado: ¡no correlacionadas no implica independencia!
Ejercicio
Sea \(\mathbf{X}=(X_1,X_2)^T\) con matriz de covarianzas \(\boldsymbol{\Sigma}=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}\). Use la fórmula \(\operatorname{cov}(A\mathbf{X})=A\boldsymbol{\Sigma}A^T\) con \(A=(1,1)\) para calcular \(\operatorname{var}(X_1+X_2)\), y verifique el resultado con la fórmula usual de varianza de una suma.
Con \(A=(1,1)\):
\[
A\boldsymbol{\Sigma} = (1,1)\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix} = (2+1,\ 1+3) = (3,4),
\]
\[
A\boldsymbol{\Sigma}A^T = (3,4)\binom{1}{1} = 3+4 = 7.
\]
Verificación con la fórmula usual: \(\operatorname{var}(X_1+X_2)=\operatorname{var}(X_1)+\operatorname{var}(X_2)+2\operatorname{cov}(X_1,X_2) = 2+3+2(1)=7\). Ambos métodos coinciden, como debe ser: el enfoque matricial generaliza la fórmula escalar a cualquier combinación lineal del vector.
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