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Caso continuo: densidad condicional y ley del estadístico inconsciente

Intuición: En el mundo continuo, condicionar en un evento de probabilidad cero (Y=y) requiere límites. La densidad condicional \(f(x|y)\) es un "corte" de la superficie conjunta, normalizado. Piensa en la recta de regresión: la esperanza condicional \(E[X|Y=y]\) es la mejor predicción de X dado Y.

Simulador: densidad condicional exponencial (ejemplo del PDF)

Densidad conjunta: \( f(x,y) = \frac{1}{y} e^{-x/y} e^{-y} \), para \(x>0,y>0\). Dado \(Y=y\), \(X|Y=y \sim \text{Exp}(1/y)\).

y = 2.0

Ver insight teórico La densidad condicional es \(f(x|y) = \frac{1}{y} e^{-x/y}\) (exponencial con media y). La esperanza condicional \(E[X|Y=y]=y\). Ley de esperanza total: \(E[X] = E[E[X|Y]] = E[Y] = 1\) (pues \(Y \sim Exp(1)\)). Arrastra y observa cómo la curva se aplana o encoge.

Notación continua: \( f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} \). \[ \mathbb{P}(a \le X \le b | Y=y) = \int_a^b f(x|y)dx,\quad \mathbb{E}[X|Y=y] = \int x f(x|y)dx. \]

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 3, ej. 1b) Las concentraciones de monóxido de carbono (X) y de bióxido de carbono (Y) en las emisiones de un coche elegido al azar siguen una distribución conjunta \(f_{X,Y}(x,y)=2e^{-x-y}\mathbb{1}_{\{0\le y<x<\infty\}}(x,y)\). Si se observa una concentración de \(Y=2\), ¿cuál es la probabilidad de que la concentración de monóxido de carbono (X) sea mayor que 4? Primero encontramos la marginal de \(Y\), integrando sobre \(x\) desde \(y\) hasta \(\infty\) (por el soporte \(x>y\)): \[ f_Y(y) = \int_y^\infty 2e^{-x-y}\,dx = 2e^{-y}\int_y^\infty e^{-x}\,dx = 2e^{-y}\cdot e^{-y} = 2e^{-2y}, \quad y>0. \] La densidad condicional es entonces: \[ f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{2e^{-x-y}}{2e^{-2y}} = e^{-(x-y)}, \quad x>y, \] es decir, \((X-y)\mid Y=y\sim\text{Exponencial}(1)\) — la misma estructura de "exponencial desplazada" vista en el ejemplo de esta página. Entonces: \[ \mathbb{P}(X>4\mid Y=2) = \mathbb{P}(X-2>2\mid Y=2) = e^{-2} \approx 0.1353. \]

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