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Esperanza y varianza condicional: leyes de la probabilidad total

Intuición: La esperanza condicional \(E[Y|X]\) es una variable aleatoria que resume la tendencia de Y cuando conocemos X. La Ley de Esperanza Total dice que en promedio, la predicción condicional da la media global. La Ley de Varianza Total descompone la varianza en "explicada" por X y "residual".

Simulador: mezcla Poisson-Gamma (número de accidentes)

Supongamos \(N|\Lambda=\lambda \sim Poisson(\lambda)\) y \(\Lambda \sim Gamma(\alpha, \beta)\). Marginalmente \(N \sim\) Binomial Negativa. Ajusta los parámetros y observa la esperanza condicional.

2.0
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Media teórica de N: -

Valor simulado: -

Verificación de leyes: \(E[N] = E[E[N|\Lambda]] = E[\Lambda] = \alpha\beta\). Varianza total: \(Var(N) = E[Var(N|\Lambda)] + Var(E[N|\Lambda]) = E[\Lambda] + Var(\Lambda) = \alpha\beta + \alpha\beta^2\).

Explicación interactiva Usando la ley de esperanza total: \(E[N] = E[\Lambda] = \alpha\beta\). La ley de varianza total separa la variabilidad entre individuos (diferente lambda) y la variabilidad Poisson pura. Juega con α y β para ver cómo cambia la media condicional y marginal.

Teoremas clave: \[ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]], \quad \operatorname{Var}(Y) = \mathbb{E}[\operatorname{Var}(Y|X)] + \operatorname{Var}(\mathbb{E}[Y|X]). \]

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 4, ej. 3) Se tiran dos dados honestos y la suma de las caras se denota por \(N\). Luego se tira \(N\) veces una moneda cargada al águila con \(p=0.55\), y se denota por \(Y\) el número de águilas obtenidas. Determine \(\mathbb{E}[Y]\) y \(\operatorname{Var}(Y)\). Dado \(N\), \(Y|N=n\sim\text{Bin}(n,0.55)\), así que \(\mathbb{E}[Y|N]=0.55N\) y \(\operatorname{Var}(Y|N)=0.55(0.45)N\). Para \(N\), la suma de dos dados: \(\mathbb{E}[N]=7\), \(\operatorname{Var}(N)=2\cdot\frac{35}{12}=\frac{35}{6}\approx5.833\) (varianza de un dado: \(\frac{35}{12}\), y los dos dados son independientes).

Por la ley de esperanza total: \[ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|N]] = \mathbb{E}[0.55N] = 0.55(7) = 3.85. \] Por la ley de varianza total: \[ \operatorname{Var}(Y) = \mathbb{E}[\operatorname{Var}(Y|N)] + \operatorname{Var}(\mathbb{E}[Y|N]) = 0.55(0.45)\mathbb{E}[N] + 0.55^2\operatorname{Var}(N) \] \[ = 0.2475(7) + 0.3025\left(\frac{35}{6}\right) \approx 1.7325 + 1.7646 = 3.4971. \]

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