Ley Débil de los Grandes Números (LDGN):
\[
\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \mu = \mathbb{E}[X_1]
\]
Ley Fuerte de los Grandes Números (LFGN):
\[
\bar{X}_n \xrightarrow{c.s.} \mu
\]
Demostración de la LDGN (con varianza finita)
\[
\mathbb{P}(|\bar{X}_n - \mu| \ge \epsilon) \le \frac{\operatorname{var}(\bar{X}_n)}{\epsilon^2} = \frac{\sigma^2/n}{\epsilon^2} \to 0 \text{ cuando } n \to \infty
\]
Por lo tanto, \(\bar{X}_n \xrightarrow{P} \mu\).
Ejemplo del PDF (encuesta): Para estimar una proporción p con precisión ϵ=0.05 y confianza 90% (δ=0.10):
\[
n \ge \frac{1}{4\delta\epsilon^2} = \frac{1}{4 \cdot 0.10 \cdot (0.05)^2} = 1000
\]
¡Se necesitan al menos 1000 encuestas!
¿Por qué la LGN es fundamental en Estadística?
La LGN justifica que la media muestral es un estimador consistente de la media poblacional. Es la base de la inferencia estadística: al aumentar el tamaño de muestra, nuestras estimaciones se acercan a los verdaderos valores poblacionales.
Ejercicio
Usando la misma cota de Chebyshev del "Ejemplo del PDF" (\(n\ge\frac{1}{4\delta\epsilon^2}\)), calcule cuántas encuestas se necesitan para estimar una proporción con precisión \(\epsilon=0.02\) y confianza 95% (\(\delta=0.05\)).
Sustituyendo directamente:
\[
n \ge \frac{1}{4\delta\epsilon^2} = \frac{1}{4(0.05)(0.02)^2} = \frac{1}{0.00008} = 12{,}500.
\]
Se necesitarían 12,500 encuestas — mucho más que las 1000 del ejemplo, porque se pidió el doble de precisión (\(\epsilon\) más pequeña, que entra al cuadrado en el denominador) y más confianza (\(\delta\) más pequeña). Esta cota de Chebyshev es conservadora; en el módulo de Aplicaciones del TCL se verá una fórmula más ajustada (basada en la aproximación normal) que típicamente pide muestras bastante más pequeñas para la misma precisión y confianza.
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