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Chebyshev Unilateral (Cantelli)

La desigualdad de Chebyshev unilateral (o de Cantelli) acota la probabilidad de una cola: \[ \mathbb{P}(X - \mu \ge a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}, \quad a > 0 \] Análogamente, \(\mathbb{P}(X - \mu \le -a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}\).

Comparación: Chebyshev bilateral vs unilateral

0 1.0 2.0
Esquema de demostración (Ross, 2006) Para cualquier \(t > 0\): \[ \mathbb{P}(X - \mu \ge a) = \mathbb{P}(X - \mu + t \ge a + t) \le \mathbb{P}((X - \mu + t)^2 \ge (a + t)^2) \] Aplicando Markov: \(\mathbb{P}((X - \mu + t)^2 \ge (a + t)^2) \le \frac{\mathbb{E}[(X - \mu + t)^2]}{(a + t)^2} = \frac{\sigma^2 + t^2}{(a + t)^2}\)
Minimizando sobre \(t > 0\) se obtiene la cota \(\frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}\).

Ejemplo del PDF (reparación de máquina):
Tiempo medio: \(\mu = 6.2\) h, desviación \(\sigma = 3.52\) h.
Empleado nuevo tarda 22.5 h → \(a = 22.5 - 6.2 = 16.3\) \[ \mathbb{P}(X \ge 22.5) = \mathbb{P}(X - \mu \ge 16.3) \le \frac{3.52^2}{3.52^2 + 16.3^2} = \frac{12.39}{12.39 + 265.69} = 0.0446 \] ¡Solo 4.46% de probabilidad! → El empleado probablemente necesita entrenamiento.

¿Por qué la cota unilateral es más ajustada que la bilateral? La cota bilateral \(\mathbb{P}(|X-\mu| \ge a) \le \sigma^2/a^2\) considera ambas colas. Para una cola, la probabilidad es aproximadamente la mitad, y la cota unilateral \(\sigma^2/(\sigma^2+a^2)\) es más pequeña (mejor) que \(\sigma^2/a^2\) cuando \(a\) es grande.

Ejercicio

Los ingresos mensuales de cierta población (en miles de pesos) tienen media \(\mu=500\) y desviación \(\sigma=150\). Acote \(\mathbb{P}(X\ge800)\) usando Cantelli, y compárela con la cota bilateral de Chebyshev. Con \(a=800-500=300\), la cota de Cantelli es: \[ \mathbb{P}(X\ge800) = \mathbb{P}(X-\mu\ge300) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2} = \frac{150^2}{150^2+300^2} = \frac{22500}{112500} = 0.2. \] Comparando con la cota bilateral de Chebyshev, \(\mathbb{P}(|X-\mu|\ge300)\le\sigma^2/a^2 = 22500/90000 = 0.25\): \[ \text{Cantelli: } 0.2 \quad < \quad \text{Chebyshev bilateral: } 0.25. \] Como se esperaba, la cota unilateral (Cantelli) es más ajustada (menor) que la bilateral, porque Cantelli aprovecha que solo nos interesa una cola (ingresos altos), no ambas.

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