Una mezcla de distribuciones tiene densidad:
\[
f_X(x) = \sum_{i=1}^k p_i f_i(x), \quad \text{con } p_i > 0, \sum p_i = 1
\]
Es como elegir al azar de cuál distribución proviene la observación.
Propiedades de la mezcla:
\[
\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^k p_i \mu_i
\]
\[
\operatorname{var}(X) = \sum_{i=1}^k p_i \sigma_i^2 + \sum_{i=1}^k p_i (\mu_i - \bar{\mu})^2
\]
(varianza dentro de los grupos + varianza entre las medias)
Observa: Cuando σ es grande, ¿cómo cambia la forma de la densidad?
Aparece una "cola" más pesada. Las mezclas de normales son útiles para modelar datos atípicos o poblaciones heterogéneas (ej: pesos de personas de diferentes edades).
Ejemplo adicional: Poisson con media aleatoria Gamma produce una distribución Binomial Negativa (modelo para número de accidentes).
Ejercicio
Un tiempo de espera \(X\) sigue una mezcla de dos exponenciales: con probabilidad \(p=0.6\) proviene de Exponencial(\(\lambda_1=1\)), y con probabilidad \(0.4\) de Exponencial(\(\lambda_2=3\)). Calcule \(\mathbb{E}[X]\) y \(\operatorname{var}(X)\).
Las medias de cada componente son \(\mu_1=1/\lambda_1=1\) y \(\mu_2=1/\lambda_2=1/3\). Usando la fórmula de la media de una mezcla:
\[
\mathbb{E}[X] = 0.6(1) + 0.4\left(\frac{1}{3}\right) = 0.7333.
\]
Para la varianza usamos \(\operatorname{var}(X)=\sum p_i\sigma_i^2+\sum p_i(\mu_i-\bar\mu)^2\), con \(\sigma_1^2=1\), \(\sigma_2^2=1/9\approx0.1111\) (varianza de cada exponencial es \(1/\lambda^2\)) y \(\bar\mu=\mathbb{E}[X]=0.7333\):
\[
\text{dentro de grupos: } 0.6(1)+0.4(0.1111) = 0.6444,
\]
\[
\text{entre medias: } 0.6(1-0.7333)^2+0.4(0.3333-0.7333)^2 = 0.6(0.2667)^2+0.4(-0.4)^2 = 0.1067,
\]
\[
\operatorname{var}(X) = 0.6444+0.1067 = 0.7511.
\]
Se puede verificar directamente con \(\operatorname{var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2\), usando \(\mathbb{E}[X^2]=\sum p_i\cdot\frac{2}{\lambda_i^2}=0.6(2)+0.4(2/9)=1.2889\): \(1.2889-0.7333^2=0.7511\). ✓
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