Para un vector aleatorio \(\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)^T\): \[ \boldsymbol{\mu} = \mathbb{E}[\mathbf{X}] = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{\Sigma} = \operatorname{cov}(\mathbf{X}) = \mathbb{E}[(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^T] \] \(\boldsymbol{\Sigma}\) es simétrica y semidefinida positiva.

#### Visualización de matriz de covarianzas 2D

Varianza de X₁ (σ₁²):1.0Varianza de X₂ (σ₂²):1.0Covarianza σ₁₂:0.5

**Propiedades:** - \\(\\mathbb{E}\[A\\mathbf{X}\] = A\\boldsymbol{\\mu}\\) - \\(\\operatorname{cov}(A\\mathbf{X}) = A\\boldsymbol{\\Sigma}A^T\\) - \\(\\operatorname{vartot}(\\mathbf{X}) = \\operatorname{tr}(\\boldsymbol{\\Sigma}) = \\sum\_i \\sigma\_i^2 = \\sum\_i \\lambda\_i\\) La **variación total** es la suma de las varianzas, igual a la suma de los valores propios.

**¿Qué significa que la matriz de covarianzas sea diagonal?**

Si \\(\\boldsymbol{\\Sigma}\\) es diagonal, todas las covarianzas son cero: las variables están **no correlacionadas**. Pero cuidado: ¡no correlacionadas no implica independencia!

## Ejercicio

Sea \\(\\mathbf{X}=(X\_1,X\_2)^T\\) con matriz de covarianzas \\(\\boldsymbol{\\Sigma}=\\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 1 & 3\\end{pmatrix}\\). Use la fórmula \\(\\operatorname{cov}(A\\mathbf{X})=A\\boldsymbol{\\Sigma}A^T\\) con \\(A=(1,1)\\) para calcular \\(\\operatorname{var}(X\_1+X\_2)\\), y verifique el resultado con la fórmula usual de varianza de una suma.

Con \\(A=(1,1)\\): \\\[ A\\boldsymbol{\\Sigma} = (1,1)\\begin{pmatrix}2&1\\\\1&3\\end{pmatrix} = (2+1,\\ 1+3) = (3,4), \\\] \\\[ A\\boldsymbol{\\Sigma}A^T = (3,4)\\binom{1}{1} = 3+4 = 7. \\\] Verificación con la fórmula usual: \\(\\operatorname{var}(X\_1+X\_2)=\\operatorname{var}(X\_1)+\\operatorname{var}(X\_2)+2\\operatorname{cov}(X\_1,X\_2) = 2+3+2(1)=7\\). Ambos métodos coinciden, como debe ser: el enfoque matricial generaliza la fórmula escalar a cualquier combinación lineal del vector.