Problema (Wackerly et al., Ej. 5.120): Una muestra de \(n\) artículos. \(p_1\) = proporción con 1 defecto, \(p_2\) = proporción con más de 1 defecto. Costo de reparación: \(C = Y_1 + 3Y_2\), donde \(Y_1\) = número con 1 defecto, \(Y_2\) = número con más de 1 defecto.
Solución teórica (paso a paso):
Paso 1: Identificar la distribución
\((Y_0, Y_1, Y_2) \sim \text{Multinomial}(n, p_0, p_1, p_2)\) con \(p_0 = 1-p_1-p_2\).
Paso 2: Esperanza de C
\[
\mathbb{E}[C] = \mathbb{E}[Y_1] + 3\mathbb{E}[Y_2] = n p_1 + 3n p_2 = n(p_1 + 3p_2)
\]
Para \(n=100, p_1=0.3, p_2=0.2\): \(\mathbb{E}[C] = 100(0.3 + 0.6) = 90\)
Paso 3: Varianza de C
\[
\begin{align*}
\operatorname{var}(C) &= \operatorname{var}(Y_1) + 9\operatorname{var}(Y_2) + 2\cdot 3 \cdot \operatorname{cov}(Y_1, Y_2) \\
&= n p_1(1-p_1) + 9n p_2(1-p_2) - 6n p_1 p_2 \\
&= n[p_1(1-p_1) + 9p_2(1-p_2) - 6p_1 p_2]
\end{align*}
\]
Para \(n=100, p_1=0.3, p_2=0.2\):
\[
\begin{align*}
\operatorname{var}(C) &= 100[0.3\cdot0.7 + 9\cdot0.2\cdot0.8 - 6\cdot0.3\cdot0.2] \\
&= 100[0.21 + 9\cdot0.16 - 0.36] \\
&= 100[0.21 + 1.44 - 0.36] = 100 \cdot 1.29 = 129
\end{align*}
\]
¿Qué pasa con el costo esperado si duplicamos p₂?
Si \(p_2\) pasa de 0.2 a 0.4 (reduciendo \(p_0\)): \(\mathbb{E}[C] = 100(0.3 + 3\cdot0.4) = 100(0.3+1.2) = 150\) (aumenta de 90 a 150). La varianza también aumenta significativamente por el término \(9p_2(1-p_2)\).
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 8, ej. 3) Cincuenta recién egresados de preparatoria fueron elegidos aleatoriamente y se les preguntó qué carrera estudiarían en el ITAM. Sus preferencias fueron: 25 por Economía, 10 por Actuaría y Finanzas, 5 por Ciencia de Datos y 10 por Matemáticas Aplicadas. Suponiendo que, a priori, las cuatro carreras fueran igualmente populares (\(p_i=1/4\) cada una), ¿qué tan probable es este resultado exacto?
Sea \((X_1,X_2,X_3,X_4)\sim\text{Multinomial}(n=50, p_1=p_2=p_3=p_4=1/4)\), con el resultado observado \((25,10,5,10)\). Usando la f.m.p. conjunta:
\[
\mathbb{P} = \frac{50!}{25!\,10!\,5!\,10!}\left(\frac{1}{4}\right)^{50} \approx 9.8\times10^{-7}.
\]
Es decir, si las cuatro carreras fueran realmente igual de populares, este resultado exacto ocurriría en aproximadamente 1 de cada millón muestras de este tamaño — extremadamente improbable. Esto sugiere fuertemente que las carreras no son igualmente preferidas entre los egresados (en particular, Economía parece mucho más popular que \(1/4\)). Este tipo de razonamiento —comparar la probabilidad observada contra una hipótesis de "igual de probable"— es la idea central detrás de las pruebas de bondad de ajuste (chi-cuadrada) que generalizan este cálculo.
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