Sea \(N\) una variable aleatoria entera no negativa, y \(X_1, X_2, \ldots\) i.i.d. independientes de \(N\). Definimos la suma aleatoria:
\[
S_N = X_1 + X_2 + \cdots + X_N
\]
Resultados clave para sumas aleatorias:
\[
\mathbb{E}[S_N] = \mathbb{E}[N] \cdot \mathbb{E}[X]
\]
\[
\operatorname{var}(S_N) = \operatorname{var}(N) \cdot (\mathbb{E}[X])^2 + \mathbb{E}[N] \cdot \operatorname{var}(X)
\]
¿Por qué aparece \(\mathbb{E}[N] \cdot \operatorname{var}(X)\) y \(\operatorname{var}(N) \cdot (\mathbb{E}[X])^2\)?
Por la ley de varianza total: \(\operatorname{var}(S_N) = \mathbb{E}[\operatorname{var}(S_N|N)] + \operatorname{var}(\mathbb{E}[S_N|N])\). El primer término da \(\mathbb{E}[N]\sigma_X^2\) y el segundo \(\sigma_N^2 \mu_X^2\).
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 4, ej. 5) Sea \((X_i, i\in\mathbb{N})\) una sucesión de v.a.i.i.d. con f.d.p. común \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\mathbb{I}_{(0,\infty)}(x)\). Sea \(N\) una v.a. independiente de las \(X_i\)'s, con distribución Uniforme en \(\{1,2,3\}\). Considere la suma aleatoria \(S=\sum_{i=1}^N X_i\). Encuentre su media y su varianza.
Para \(N\sim\text{Uniforme}\{1,2,3\}\): \(\mathbb{E}[N]=2\), \(\mathbb{E}[N^2]=\frac{1+4+9}{3}=\frac{14}{3}\), así que \(\operatorname{var}(N)=\frac{14}{3}-4=\frac{2}{3}\). Para cada \(X_i\sim\text{Exponencial}(\lambda)\): \(\mathbb{E}[X]=1/\lambda\), \(\operatorname{var}(X)=1/\lambda^2\). Aplicando las fórmulas de sumas aleatorias:
\[
\mathbb{E}[S] = \mathbb{E}[N]\cdot\mathbb{E}[X] = \frac{2}{\lambda},
\]
\[
\operatorname{var}(S) = \operatorname{var}(N)(\mathbb{E}[X])^2 + \mathbb{E}[N]\operatorname{var}(X) = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\lambda^2} + 2\cdot\frac{1}{\lambda^2} = \frac{8/3}{\lambda^2}.
\]
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