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Distribución del Mínimo y Máximo

Para el máximo \(X_{(n)}\): \[ F_{X_{(n)}}(x) = [F(x)]^n, \quad f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) [F(x)]^{n-1} \] Para el mínimo \(X_{(1)}\): \[ F_{X_{(1)}}(x) = 1 - [1 - F(x)]^n, \quad f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) [1 - F(x)]^{n-1} \]

Distribuciones del mínimo y máximo para Uniforme(0,1)

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Demostración para el máximo \[ \begin{align*} F_{X_{(n)}}(x) &= \mathbb{P}(X_{(n)} \le x) = \mathbb{P}(X_1 \le x, \ldots, X_n \le x) \\ &= \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(X_i \le x) = [F(x)]^n \end{align*} \] Derivando: \(f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) [F(x)]^{n-1}\)

Ejemplo del PDF: Para uniformes en (0,1), \(F(x)=x\). \[ f_{X_{(n)}}(x) = n x^{n-1}, \quad 0 \le x \le 1 \] \[ f_{X_{(1)}}(x) = n (1-x)^{n-1}, \quad 0 \le x \le 1 \] El mínimo tiende a 0 y el máximo tiende a 1 cuando \(n\) crece.

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 13, ej. 8) Sean \(X\) y \(Y\) variables aleatorias absolutamente continuas e independientes (no necesariamente idénticamente distribuidas). Defina \(V=\max\{X,Y\}\). Demuestre que \(f_V(v) = f_X(v)F_Y(v) + F_X(v)f_Y(v)\). Como \(X\) y \(Y\) son independientes: \[ F_V(v) = \mathbb{P}(\max\{X,Y\}\le v) = \mathbb{P}(X\le v, Y\le v) = F_X(v)F_Y(v). \] Derivando respecto a \(v\) con la regla del producto: \[ f_V(v) = \frac{d}{dv}\left[F_X(v)F_Y(v)\right] = f_X(v)F_Y(v) + F_X(v)f_Y(v). \] Este resultado generaliza la fórmula del máximo dada arriba: cuando \(X\) y \(Y\) son además idénticamente distribuidas (\(F_X=F_Y=F\), \(f_X=f_Y=f\)), se reduce a \(f_V(v)=2f(v)F(v)\), que coincide con \(nf(x)[F(x)]^{n-1}\) evaluado en \(n=2\).

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