Para una variable positiva con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), comparamos las tres cotas:
\[
\begin{aligned}
\text{Markov: } & \mathbb{P}(X \ge a) \le \frac{\mu}{a} \\
\text{Chebyshev: } & \mathbb{P}(|X-\mu| \ge a) \le \frac{\sigma^2}{a^2} \\
\text{Cantelli: } & \mathbb{P}(X-\mu \ge a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2}
\end{aligned}
\]
Observaciones:
- Markov solo usa la media, es la más débil pero requiere menos información.
- Chebyshev usa media y varianza, pero considera ambas colas.
- Cantelli (unilateral) es la más ajustada para una cola.
- Para variables simétricas, Chebyshev bilateral puede ser mejor para intervalos centrados.
¿Cuál cota usarías para estimar el riesgo de pérdidas financieras?
Para riesgos asimétricos (pérdidas), se usa la desigualdad de Cantelli (unilateral) porque solo nos interesa la cola inferior (pérdidas grandes). También existen desigualdades más avanzadas como Chernoff o Hoeffding.
Ejercicio
Sea \(X\) una variable positiva con \(\mu=10\), \(\sigma=3\). Calcule las tres cotas (Markov, Chebyshev, Cantelli) para \(\mathbb{P}(X\ge25)\) — es decir, con \(a=25\) para Markov y \(a=25-10=15\) para Chebyshev/Cantelli — y ordénelas de más débil a más ajustada.
Markov (usa \(\mathbb{P}(X\ge a)\) directamente con \(a=25\)):
\[
\mathbb{P}(X\ge25) \le \frac{\mu}{a} = \frac{10}{25} = 0.4.
\]
Chebyshev (usa \(a=X\)-desplazamiento respecto a la media, \(a=15\)):
\[
\mathbb{P}(X\ge25) = \mathbb{P}(X-\mu\ge15) \le \mathbb{P}(|X-\mu|\ge15) \le \frac{\sigma^2}{a^2} = \frac{9}{225} = 0.04.
\]
Cantelli (con el mismo \(a=15\)):
\[
\mathbb{P}(X-\mu\ge15) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2} = \frac{9}{9+225} = \frac{9}{234} \approx 0.0385.
\]
Ordenando de más débil a más ajustada: Markov (0.4) > Chebyshev (0.04) > Cantelli (0.0385). Aquí Markov es dramáticamente más débil porque solo usa la media; Chebyshev y Cantelli, al incorporar la varianza, dan cotas mucho más informativas, y Cantelli es ligeramente mejor que Chebyshev por aprovechar que solo nos interesa una cola.
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