Teorema de Slutsky: Si \(X_n \xrightarrow{D} X\) y \(Y_n \xrightarrow{P} c\) (constante), entonces:
- \(X_n + Y_n \xrightarrow{D} X + c\)
- \(X_n Y_n \xrightarrow{D} cX\)
- \(X_n / Y_n \xrightarrow{D} X/c\) (si \(c \neq 0\))
Teorema de Mapeo Continuo: Si \(g\) es continua y \(X_n \xrightarrow{D} X\), entonces \(g(X_n) \xrightarrow{D} g(X)\).
Aplicación importante: Si \(Z_n \xrightarrow{D} N(0,1)\), entonces \(Z_n^2 \xrightarrow{D} \chi^2_1\).
¿Qué aplicación tiene Slutsky en la práctica estadística?
Slutsky es fundamental para justificar que si \(\hat{\sigma}^2\) es un estimador consistente de \(\sigma^2\), entonces \(\frac{\bar{X}_n - \mu}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} \xrightarrow{D} N(0,1)\). ¡Permite usar la desviación estándar muestral en intervalos de confianza!
Ejercicio
Sea \(\bar{X}_n\) la media muestral de \(n=100\) observaciones i.i.d. Bernoulli(0.3). Use el TCL y el Teorema de Mapeo Continuo para describir la distribución límite de \(W_n = \dfrac{n(\bar{X}_n-0.3)^2}{0.3\times0.7}\).
Por el TCL, con \(p=0.3\), \(p(1-p)=0.21\):
\[
Z_n = \frac{\bar{X}_n - 0.3}{\sqrt{0.21/n}} = \sqrt{n}\cdot\frac{\bar{X}_n-0.3}{\sqrt{0.21}} \xrightarrow{D} Z\sim N(0,1).
\]
Reescribiendo \(W_n\) en términos de \(Z_n\):
\[
W_n = \frac{n(\bar{X}_n-0.3)^2}{0.21} = \left(\sqrt{n}\cdot\frac{\bar{X}_n-0.3}{\sqrt{0.21}}\right)^2 = Z_n^2.
\]
Aplicando el Teorema de Mapeo Continuo con la función continua \(g(z)=z^2\) a \(Z_n\xrightarrow{D}Z\sim N(0,1)\):
\[
W_n = Z_n^2 \xrightarrow{D} Z^2 \sim \chi^2_1.
\]
Este resultado — que el cuadrado de un estadístico estandarizado asintóticamente normal converge a una \(\chi^2_1\) — es exactamente la base de las pruebas de bondad de ajuste y de las pruebas de proporciones en estadística inferencial.
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