Vectores Aleatorios Continuos
Definición: Sea \((X,Y)\) v.a. tal que para todo \(A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\) (conjuntos borelianos),
\[ \mathbb{P}\big((X,Y)\in A\big) = \mathbb{P}_{XY}(A) = \iint_A h(x,y)\,dx\,dy \]para alguna función \(h\ge0\). Entonces \((X,Y)\) se dice (absolutamente) continuo, con \(h\) como función de densidad de probabilidad conjunta (f.d.p.).
Propiedades: f.d.p. propia y relación con la f.p.a.
Sea \((X,Y)\) v.a. continuo con f.d.p. conjunta \(f\) y f.p.a. conjunta \(F\). Entonces- \(f(x,y)\ge0\) para todo \(x,y\), y \(\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dx\,dy=1\) (f.d.p. propia o legítima).
- \(F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f(u,v)\,dv\,du\).
- Si \(F\) es diferenciable, \(f(x,y)=\dfrac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\,\partial y}\).
- Marginales: \(f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dy\), \(\ f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\) (se obtienen del Teorema Fundamental del Cálculo aplicado a \(F_X(x)=F(x,\infty)\), invirtiendo el orden de integración por el Teorema de Fubini).
Ejemplo 1 resuelto (uniforme en el cuadrado \([0,1]\times[0,1]\)): \(f(x,y)=\mathbb{1}_C(x,y)\). Se obtiene \(F(x,y)=xy\) en \(C\), y las marginales \(f_X(x)=1\), \(f_Y(y)=1\) en \([0,1]\) — es decir, \(X,Y\sim\text{Unif}(0,1)\).
Ejemplo 2 resuelto (soporte triangular): \(f(x,y)=2e^{-(x+y)}\mathbb{1}_{\{0\le x\le y<\infty\}}(x,y)\). Integrando, \(f_X(x)=2e^{-2x}\) (exponencial de media \(1/2\)) y \(f_Y(y)=2e^{-y}(1-e^{-y})\). Además \(\mathbb{P}(X+Y\le1)=1-2e^{-1}\approx0.2642\).
Aplicación interactiva
Ejemplo 1: distribución uniforme en el cuadrado [0,1]×[0,1]
Ejemplo 2: densidad con soporte triangular
\(f(x,y) = 2e^{-(x+y)}\) para \(0 \le x \le y < \infty\).
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