FGM Conjunta de la Multinomial
La FGM conjunta es una herramienta poderosa para derivar propiedades de la multinomial.
Teorema: Sea \(\mathbf{X} \sim \text{Multinomial}(n, p_1, \ldots, p_k)\). Entonces \[ m_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \mathbb{E}[e^{\mathbf{t}^T \mathbf{X}}] = (p_1 e^{t_1} + p_2 e^{t_2} + \cdots + p_k e^{t_k})^n \]
Demostración (usando el teorema multinomial)
\[ \begin{align*} m_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) &= \sum_{x_1+\cdots+x_k=n} \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k} e^{t_1 x_1 + \cdots + t_k x_k} \\ &= \sum_{x_1+\cdots+x_k=n} \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} (p_1 e^{t_1})^{x_1} \cdots (p_k e^{t_k})^{x_k} \\ &= (p_1 e^{t_1} + \cdots + p_k e^{t_k})^n \end{align*} \] donde el último paso es precisamente el teorema multinomial: \[ (a_1 + \cdots + a_k)^n = \sum_{x_1+\cdots+x_k=n} \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} a_1^{x_1} \cdots a_k^{x_k} \]FGM conjunta para k=2 (Binomial)
Para \(X \sim \text{Bin}(n, p)\), la FGM es \(m_X(t) = (1-p + p e^{t})^n\)
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0.30
Ejemplo: Calcular \(\mathbb{E}[X_1 X_2]\) usando la FGM conjunta
Para k=2, \(m_{X_1,X_2}(t_1, t_2) = (p_1 e^{t_1} + p_2 e^{t_2})^n\).
\[
\frac{\partial^2 m}{\partial t_1 \partial t_2} = n(n-1)(p_1 e^{t_1} + p_2 e^{t_2})^{n-2} \cdot p_1 e^{t_1} \cdot p_2 e^{t_2}
\]
Evaluando en \(t_1=t_2=0\):
\[
\mathbb{E}[X_1 X_2] = n(n-1) p_1 p_2
\]
De aquí, \(\text{cov}(X_1, X_2) = n(n-1)p_1 p_2 - np_1 \cdot np_2 = -n p_1 p_2\).
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