La densidad conjunta de todos los estadísticos de orden es:
\[
f_{X_{(1)},\ldots,X_{(n)}}(y_1,\ldots,y_n) = n! \prod_{i=1}^n f(y_i), \quad y_1 < y_2 < \cdots < y_n
\]
Demostración
La transformación de \((X_1,\ldots,X_n)\) a \((X_{(1)},\ldots,X_{(n)})\) es una permutación. Hay \(n!\) permutaciones posibles, cada una con determinante jacobiano 1. Por el teorema de transformación multivariado:
\[
f_{Y}(y) = \sum_{\text{permutaciones}} f_X(h(y)) = n! \prod_{i=1}^n f(y_i), \quad y_1 < \cdots < y_n
\]
Propiedad importante: Los espaciados \(D_i = X_{(i)} - X_{(i-1)}\) (con \(X_{(0)}=0\)) tienen propiedades especiales. Para uniformes (0,1), los vectores de espaciados tienen distribución Dirichlet con parámetros \(\alpha_i = 1\).
¿Cuál es la probabilidad de que \(X_k\) sea el mínimo de una muestra?
Para exponenciales con tasas distintas:
\[
\mathbb{P}(X_k = \min\{X_1,\ldots,X_n\}) = \frac{\lambda_k}{\sum_{i=1}^n \lambda_i}
\]
(resultado demostrado en el PDF). Para i.i.d., la probabilidad es \(1/n\).
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 13, ej. 7) Sean \(X_1,\ldots,X_n\) i.i.d. con densidad \(f(x)=\frac{1}{\theta}\mathbb{1}_{(0,\theta)}(x)\). Muestre que \(X_{(1)}/X_{(n)}\) y \(X_{(n)}\) son independientes.
Con \(F(x)=x/\theta\), la densidad conjunta de \((X_{(1)},X_{(n)})\) (fórmula del módulo "Distribución del Rango") es:
\[
f_{1n}(x,y) = n(n-1)f(x)f(y)[F(y)-F(x)]^{n-2} = \frac{n(n-1)}{\theta^n}(y-x)^{n-2}, \quad 0<x<y<\theta.
\]
Sea \(U=X_{(1)}/X_{(n)}\), \(V=X_{(n)}\), de modo que \(X_{(1)}=UV\), \(X_{(n)}=V\). El jacobiano de \((x,y)\to(u,v)\) es \(\left|\det\begin{pmatrix}v & u\\0 & 1\end{pmatrix}\right|=v\). Sustituyendo \(y-x=v-uv=v(1-u)\):
\[
f_{U,V}(u,v) = \frac{n(n-1)}{\theta^n}\big[v(1-u)\big]^{n-2}\cdot v = \frac{n(n-1)}{\theta^n}(1-u)^{n-2}\,v^{n-1}, \quad 0<u<1,\ 0<v<\theta.
\]
¡La densidad conjunta se factoriza en una función de \(u\) y una función de \(v\)! Por lo tanto \(U=X_{(1)}/X_{(n)}\) y \(V=X_{(n)}\) son independientes — integrando por separado se obtiene \(f_U(u)=(n-1)(1-u)^{n-2}\) (una Beta(1,n-1)) y \(f_V(v)=nv^{n-1}/\theta^n\) (la densidad del máximo ya conocida del módulo 2).
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