Particionamos \(\mathbf{X} = \begin{pmatrix} \mathbf{X}_1 \\ \mathbf{X}_2 \end{pmatrix}\) con
\(\boldsymbol{\mu} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\mu}_1 \\ \boldsymbol{\mu}_2 \end{pmatrix}\) y
\(\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11} & \boldsymbol{\Sigma}_{12} \\ \boldsymbol{\Sigma}_{21} & \boldsymbol{\Sigma}_{22} \end{pmatrix}\).
Teorema de la condicional normal:
\[
(\mathbf{X}_1 \mid \mathbf{X}_2 = \mathbf{x}_2) \sim N_{p_1}\left(\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}(\mathbf{x}_2 - \boldsymbol{\mu}_2),\; \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21}\right)
\]
La media condicional \(\mathbb{E}[X_1|X_2=x_2] = \mu_1 + \rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2-\mu_2)\) es una función lineal de \(x_2\). La pendiente es \(\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\).
¿Qué significa que la varianza condicional no dependa de \(x_2\)?
Es una propiedad de homocedasticidad: la variabilidad alrededor de la línea de regresión es constante, no importa el valor de \(X_2\). Esto es característico de la normal y subyace en muchos modelos de regresión lineal.
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 8, ej. 7) Considere \((X,Y)\) un vector aleatorio normal bivariado tal que \(\mu_X=2\), \(\sigma_X^2=4\), \(\mathbb{E}[Y|X=x]=2+x\), y \(\operatorname{var}(Y|X=x)=5\) (constante, no depende de x). Calcule \(\mathbb{P}(Y>5)\).
La media condicional tiene la forma \(\mathbb{E}[Y|X=x]=\mu_Y+\rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x-\mu_X)\). Comparando con \(2+x\) (coeficiente de \(x\) es 1, término constante es 2):
\[
\rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}=1 \implies \rho\sigma_Y = \sigma_X = 2, \qquad \mu_Y - \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\mu_X = 2 \implies \mu_Y - 2 = 2 \implies \mu_Y=4.
\]
Usando la homocedasticidad, \(\operatorname{var}(Y|X=x)=\sigma_Y^2(1-\rho^2)=5\). Como \(\rho\sigma_Y=2\), tenemos \(\rho=2/\sigma_Y\), y sustituyendo:
\[
\sigma_Y^2\left(1-\frac{4}{\sigma_Y^2}\right) = 5 \implies \sigma_Y^2 - 4 = 5 \implies \sigma_Y^2 = 9 \implies \sigma_Y=3,\ \rho=\frac{2}{3}.
\]
Por lo tanto \(Y\sim N(4,9)\) (marginal), y:
\[
\mathbb{P}(Y>5) = 1-\Phi\left(\frac{5-4}{3}\right) = 1-\Phi(0.333) \approx 0.3694.
\]
Este ejercicio muestra que basta con conocer la forma de la recta de regresión condicional y su varianza constante para recuperar toda la distribución marginal de \(Y\) — sin que el enunciado nos haya dado \(\sigma_Y\) ni \(\rho\) directamente.
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