Suma de Variables Aleatorias - Convolución
Para variables independientes, la densidad de la suma \(Z = X + Y\) es la convolución:
\[
f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx = (f_X * f_Y)(z)
\]
En el caso discreto:
\[
f_{X+Y}(z) = \sum_{x} f_X(x) f_Y(z-x)
\]
Simulador: Suma de dos uniformes independientes en (0,1)
Derivación de la convolución
\[ \begin{align*} F_Z(z) &= \mathbb{P}(X+Y \le z) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{z-x} f_X(x)f_Y(y) dy dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) F_Y(z-x) dx \\ f_Z(z) &= \frac{d}{dz} F_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx \end{align*} \]Ejemplo del PDF: Suma de dos Uniformes(0,1) \[ f_Z(z) = \begin{cases} z & 0 \le z < 1 \\ 2-z & 1 \le z \le 2 \\ 0 & \text{otro caso} \end{cases} \] Esta es la distribución triangular (Irwin-Hall con n=2).
¿Qué forma tiene la suma de tres uniformes independientes?
La suma de tres uniformes (Irwin-Hall con n=3) tiene una densidad formada por tres segmentos de parábola: \[ f_Z(z) = \begin{cases} \frac{1}{2}z^2 & 0 \le z < 1 \\ \frac{1}{2}(-2z^2 + 6z - 3) & 1 \le z < 2 \\ \frac{1}{2}(3-z)^2 & 2 \le z \le 3 \end{cases} \] En general, la suma de \(n\) uniformes se aproxima a una normal por el TCL.Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 10, ej. 1) Sea \(a\) una constante. Demuestre que la diferencia de dos variables aleatorias independientes, ambas con distribución uniforme en el intervalo \((a-1/2,a+1/2)\), tiene función de densidad \(f(u)=1-|u|\) para \(-1<u<1\).
Sean \(X,Y\sim\text{Unif}(a-1/2,a+1/2)\) independientes, y \(U=X-Y\). La constante \(a\) se cancela por traslación: si \(X'=X-a\), \(Y'=Y-a\), entonces \(X',Y'\sim\text{Unif}(-1/2,1/2)\) y \(U=X'-Y'\), así que basta considerar \(a=0\).Usando la fórmula de convolución para la diferencia, \(f_U(u)=\int f_X(x)f_Y(x-u)\,dx\), con \(f_X=f_Y=\mathbb{1}_{(-1/2,1/2)}\): \[ f_U(u) = \int_{-1/2}^{1/2} \mathbb{1}_{(-1/2,1/2)}(x-u)\,dx = \text{longitud de } (-1/2,1/2)\cap(u-1/2,u+1/2). \] Para \(0\le u<1\), esta intersección es el intervalo \((u-1/2,\,1/2)\), de longitud \(1-u\). Por simetría (\(f_U\) es par, ya que \(X-Y\) y \(Y-X\) tienen la misma distribución), para \(-1<u\le0\) la longitud es \(1+u\). En ambos casos, \(f_U(u)=1-|u|\) para \(-1<u<1\).
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