Covarianza y Correlación
La covarianza mide la asociación lineal entre dos variables:
\[
\operatorname{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]
\]
El coeficiente de correlación \(\rho = \frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\) está normalizado entre -1 y 1.
Explora diferentes niveles de correlación
0.80
Propiedades de la covarianza:
- \(\operatorname{cov}(X,X) = \operatorname{var}(X)\)
- \(\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(Y,X)\)
- \(\operatorname{cov}(aX, bY) = ab \operatorname{cov}(X,Y)\)
- \(\operatorname{cov}(X+Y, Z) = \operatorname{cov}(X,Z) + \operatorname{cov}(Y,Z)\)
- Si \(X \perp Y\), entonces \(\operatorname{cov}(X,Y)=0\) (pero el recíproco no es cierto)
Contraejemplo: covarianza cero NO implica independencia
| X\Y | -1 | 0 | 1 | P(X=x) |
|---|---|---|---|---|
| -1 | 1/3 | 0 | 1/3 | 2/3 |
| 1 | 0 | 1/3 | 0 | 1/3 |
| P(Y=y) | 1/3 | 1/3 | 1/3 | 1 |
Verifica: En esta tabla, \(\mathbb{E}[X]=-1/3\), \(\mathbb{E}[Y]=0\), \(\mathbb{E}[XY]=0\). ¿Son independientes X e Y?
No son independientes. Por ejemplo, \(f(-1,-1)=1/3\) pero \(f_X(-1)f_Y(-1) = (2/3)(1/3)=2/9\). ¡Covarianza cero pero dependientes!Desigualdad de Cauchy-Schwarz: \[ (\mathbb{E}[XY])^2 \le \mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2] \] De aquí se deduce que \(|\operatorname{corr}(X,Y)| \le 1\).
Ejercicio
Una urna tiene tres bolas numeradas 1, 2, 3. Se extraen dos bolas sin reemplazo. Sea \(X\) el número de la primera bola extraída y \(Y\) el de la segunda. Determine \(\operatorname{cov}(X,Y)\) y \(\rho_{XY}\).
Hay 6 pares ordenados igualmente probables, cada uno con probabilidad 1/6: \((1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\). Por simetría, \(X\) y \(Y\) tienen marginal Uniforme Discreta en \(\{1,2,3\}\), así que \(\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[Y]=2\) y \(\mathbb{E}[X^2]=\mathbb{E}[Y^2]=\frac{1+4+9}{3}=\frac{14}{3}\), de donde \(\operatorname{var}(X)=\operatorname{var}(Y)=\frac{14}{3}-4=\frac{2}{3}\).Para \(\mathbb{E}[XY]\), sumamos \(xy\) sobre los 6 pares: \[ \mathbb{E}[XY] = \frac{1\cdot2+1\cdot3+2\cdot1+2\cdot3+3\cdot1+3\cdot2}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}. \] Entonces: \[ \operatorname{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] = \frac{11}{3}-4 = -\frac{1}{3}, \qquad \rho_{XY} = \frac{-1/3}{2/3} = -\frac{1}{2}. \] La covarianza es negativa: si la primera bola extraída tiene un número alto, queda menos probabilidad de que la segunda también lo tenga (muestreo sin reemplazo).
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