Independencia de Variables Aleatorias

Definición: \(X_1,\dots,X_n\) se dicen variables aleatorias independientes si para cualesquiera conjuntos borelianos \(B_1,\dots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\),

\[ \mathbb{P}(X_1\in B_1,\dots,X_n\in B_n) = \mathbb{P}(X_1\in B_1)\cdots\mathbb{P}(X_n\in B_n). \]

Proposición: caracterización equivalente vía \(F\) y \(f\)

Sea \((X,Y)\) con f.p.a. conjunta \(F\) y marginales \(F_X,F_Y\), y f.d.p./f.m.p. conjunta \(f\) y marginales \(f_X,f_Y\). \(X\) y \(Y\) son independientes si y solo si, para todo \(x,y\in\mathbb{R}\), \[ \text{i)}\ F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{ii)}\ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y). \] Demostración (esbozo): si los eventos \(A_x=\{X\le x\}\) y \(B_y=\{Y\le y\}\) son independientes para todo \(x,y\), entonces \(F(x,y)=\mathbb{P}(A_x\cap B_y)=\mathbb{P}(A_x)\mathbb{P}(B_y)=F_X(x)F_Y(y)\); derivando ambos lados (caso continuo) o sumando (caso discreto) se obtiene la factorización de \(f\), y viceversa.

Lema de factorización: \(X\) y \(Y\) (con densidad/f.m.p. conjunta \(f\)) son independientes si y solo si existen funciones \(g\) y \(h\) tales que \(f(x,y)=g(x)h(y)\) para todo \(x,y\).

Regla práctica: si el soporte \(S_{XY}\) no es un rectángulo (producto cartesiano de dos conjuntos), es imposible que \(X,Y\) sean independientes. Si el soporte sí es un rectángulo, aún hay que verificar la factorización de \(f\).

Aplicación interactiva

Ejercicio

(Barrios & Chambón, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 2, ej. 3) Un estudiante sale de casa entre las 7:00 y las 7:40, y el trayecto le toma entre 30 y 40 minutos. Sea \(X\) el instante de salida (minutos después de las 7:00, \(X\sim\text{Unif}(0,40)\)) y \(Y\) la duración del trayecto (\(Y\sim\text{Unif}(30,40)\)), independientes. ¿Cuál es la probabilidad de llegar antes de las 8:00?

Se busca \(\mathbb{P}(X+Y<60)\) sobre el rectángulo \([0,40]\times[30,40]\) (área 400). Para \(x\in[0,20]\), todo \(y\in[30,40]\) cumple \(x+y<60\) (franja de altura 10). Para \(x\in(20,30]\), solo \(y<60-x\) sirve (altura \(30-x\)); para \(x>30\) no hay \(y\) válida. El área favorable es \[ \int_0^{20}10\,dx + \int_{20}^{30}(30-x)\,dx = 200 + 50 = 250. \] Por lo tanto \(\mathbb{P}(X+Y<60) = 250/400 = 0.625\).