Para transformaciones de vectores, la fórmula incluye el determinante jacobiano:
\[
f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |J_h(y)|
\]
donde \(J_h(y) = \det\left( \frac{\partial h_i}{\partial y_j} \right)\).
Visualización: Transformación lineal de normales independientes
Ejemplo del PDF: Transformación de uniformes a un rombo
Sean \(U_1, U_2 \sim \text{Unif}(0,1)\) independientes. Definimos \(X_1 = U_1 + U_2\), \(X_2 = U_1 - U_2\).
El soporte resultante es un rombo (ver figura en el PDF). La densidad conjunta es uniforme sobre el rombo:
\[
f_X(x) = \frac{1}{2} \mathbb{1}_{\{ |x_1| + |x_2| \le 2, |x_1| \le 2, |x_2| \le 1 \}}(x)
\]
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 10, ej. 3) Sean \(X_1,X_2\) v.a.i.i.d. con distribución común \(\chi^2_2\). Sea \(Y=(X_1-X_2)/2\). Muestre que \(Y\) sigue una distribución Laplaciana.
Como \(\chi^2_2\) es equivalente a \(\text{Exponencial}(\lambda=1/2)\) (densidad \(\frac{1}{2}e^{-x/2}\)), basta trabajar con \(X_1,X_2\sim\text{Exp}(\lambda)\) i.i.d. Introducimos la variable auxiliar \(S=X_1+X_2\) y sea \(D=X_1-X_2\), con inversa \(X_1=(S+D)/2\), \(X_2=(S-D)/2\). El jacobiano es:
\[
J = \det\begin{pmatrix}1/2 & 1/2\\ 1/2 & -1/2\end{pmatrix} = -\frac12, \qquad |J|=\frac12.
\]
La densidad conjunta de \((X_1,X_2)\) es \(f(x_1,x_2)=\lambda^2e^{-\lambda(x_1+x_2)}=\lambda^2e^{-\lambda s}\), válida donde \(x_1,x_2>0\), es decir \(s>|d|\). Entonces:
\[
f_{D,S}(d,s) = \frac{\lambda^2}{2}e^{-\lambda s}, \qquad s>|d|.
\]
Integrando sobre \(s\) para obtener la marginal de \(D\):
\[
f_D(d) = \int_{|d|}^{\infty}\frac{\lambda^2}{2}e^{-\lambda s}\,ds = \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|d|}.
\]
Finalmente, con \(\lambda=1/2\) (por ser \(\chi^2_2\)) y \(Y=D/2\) (así \(D=2Y\), \(|dD/dY|=2\)):
\[
f_Y(y) = f_D(2y)\cdot 2 = \frac{1/2}{2}e^{-(1/2)|2y|}\cdot2 = \frac12 e^{-|y|}.
\]
Esta es exactamente la densidad de una Laplace(0,1) — la misma técnica de variable auxiliar + Jacobiano usada en el ejemplo resuelto de esta página.
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