Sean \(X \sim \chi^2_m\) e \(Y \sim \chi^2_n\) independientes. Entonces:
\[
Z = \frac{X}{Y} \text{ tiene densidad } f_Z(z) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \frac{z^{\frac{m}{2}-1}}{(1+z)^{\frac{m+n}{2}}}, \quad z > 0
\]
Esta es la base de la distribución \(F\).
Relación entre F y Beta:
Si \(W \sim F_{m,n}\), entonces:
\[
\frac{\frac{m}{n}W}{1+\frac{m}{n}W} \sim \text{Beta}\left(\frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)
\]
Esta transformación es útil para calcular percentiles de la distribución F.
¿Para qué se usa la distribución F en estadística?
La distribución F es fundamental en:
- ANOVA (comparación de medias de múltiples grupos)
- Prueba de igualdad de varianzas (prueba F)
- Pruebas de significancia global en regresión lineal
- Comparación de modelos anidados
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 11, ej. 2 — adaptado) Sean \(X_1,X_2\) variables aleatorias independientes con \(X_i\sim\text{Gamma}(\alpha_i,\lambda)\) (mismo parámetro de tasa \(\lambda\)). Encuentre la f.d.p. de \(W=\dfrac{X_1}{X_1+X_2}\), y explique su relación con la distribución F de esta página.
Sea \(S=X_1+X_2\), de modo que \(X_1=WS\), \(X_2=S(1-W)\). El jacobiano de \((x_1,x_2)\to(w,s)\) es \(|J|=s\). La densidad conjunta (por independencia) es:
\[
f(x_1,x_2) = \frac{\lambda^{\alpha_1}x_1^{\alpha_1-1}e^{-\lambda x_1}}{\Gamma(\alpha_1)}\cdot\frac{\lambda^{\alpha_2}x_2^{\alpha_2-1}e^{-\lambda x_2}}{\Gamma(\alpha_2)}.
\]
Sustituyendo \(x_1=ws\), \(x_2=s(1-w)\), y multiplicando por \(|J|=s\):
\[
f(w,s) = \frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\, w^{\alpha_1-1}(1-w)^{\alpha_2-1}\, s^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\lambda s}, \quad 0<w<1,\ s>0.
\]
¡La densidad se factoriza en una parte que depende solo de \(w\) y otra solo de \(s\)! Integrando sobre \(s\) (usando \(\int_0^\infty s^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\lambda s}ds=\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)/\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}\)):
\[
f_W(w) = \frac{\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\, w^{\alpha_1-1}(1-w)^{\alpha_2-1}, \quad 0<w<1,
\]
que es exactamente la densidad de una \(\text{Beta}(\alpha_1,\alpha_2)\). Esta es la versión más fundamental de la relación F–Beta de esta página: cuando \(\alpha_1=m/2\), \(\alpha_2=n/2\) (es decir, \(X_1,X_2\) son chi-cuadradas), \(W=X_1/(X_1+X_2)\) coincide exactamente con la transformación \(\frac{(m/n)W_F}{1+(m/n)W_F}\) de una \(F_{m,n}\), confirmando por qué esa combinación resulta Beta.
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