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Teorema de Probabilidad Total y regla de Bayes (discreto/continuo)

Intuición: El Teorema de Probabilidad Total nos permite obtener la distribución marginal a partir de las condicionales. La regla de Bayes invierte el condicionamiento: actualizamos nuestra creencia sobre un parámetro después de observar datos.

Ejemplo: calidad de piezas (discreto-continuo)

Una máquina produce piezas defectuosas con tasa Θ (probabilidad de defecto) que varía entre lotes: Θ ∼ Beta(a,b). Luego, D | Θ = θ ∼ Bernoulli(θ). Modelo Beta-Binomial.

2.0
2.0
Posterior: Beta(a+k, b+n-k)
Ver respuesta conceptual Teorema de Probabilidad Total: \(P(Datos) = \int P(Datos|\theta) f_\Theta(\theta)d\theta\). Bayes: \(f(\theta|datos) \propto f(datos|\theta)f_\Theta(\theta)\). La distribución posterior es Beta(a+k, b+n-k), combinando información previa y evidencia.

Fórmulas: Probabilidad total: \(f_X(x) = \sum_y f(x|y)f_Y(y)\) (discreto) o integral (continuo). Regla de Bayes: \(f(y|x) = \frac{f(x|y)f_Y(y)}{\int f(x|v)f_Y(v)dv}\).

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 4, ej. 4) De acuerdo con estadísticas de una compañía aseguradora, el 60% de los conductores se clasifican como buenos conductores y el resto como malos. Para buenos conductores, el monto promedio de reclamación es de $1,400 con varianza 40,000. Para los malos conductores, el monto medio de reclamación es de $2,000 con varianza 250,000. Calcule la varianza del monto de un siniestro seleccionado aleatoriamente. Sea \(I\) el tipo de conductor (bueno con probabilidad 0.6, malo con 0.4) y \(X\) el monto de reclamación. Primero, la media total por probabilidad total: \[ \mathbb{E}[X] = 0.6(1400) + 0.4(2000) = 840+800 = 1640. \] Usando la ley de varianza total, \(\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[\operatorname{Var}(X|I)]+\operatorname{Var}(\mathbb{E}[X|I])\): \[ \mathbb{E}[\operatorname{Var}(X|I)] = 0.6(40{,}000) + 0.4(250{,}000) = 24{,}000+100{,}000 = 124{,}000, \] \[ \operatorname{Var}(\mathbb{E}[X|I]) = 0.6(1400-1640)^2 + 0.4(2000-1640)^2 = 0.6(57{,}600)+0.4(129{,}600) = 34{,}560+51{,}840 = 86{,}400. \] Sumando: \[ \operatorname{Var}(X) = 124{,}000 + 86{,}400 = 210{,}400. \] La varianza total combina la variabilidad "dentro de cada grupo" (124,000) más la variabilidad "entre grupos" causada por no saber de antemano si el conductor es bueno o malo (86,400) — exactamente el mismo principio de descomposición usado en el simulador Poisson-Gamma de la página anterior.

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