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Media y Varianza Muestral

Para una muestra \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\): \[ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \qquad S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2 \]

Simulador: Comportamiento de la media muestral

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Propiedades fundamentales:

  • \(\mathbb{E}[\bar{X}_n] = \mu\) (insesgado)
  • \(\operatorname{var}(\bar{X}_n) = \sigma^2/n\)
  • \(\mathbb{E}[S^2] = \sigma^2\) (cuasivarianza insesgada)

La división por \(n-1\) (en lugar de \(n\)) corrige el sesgo.

¿Por qué usamos n-1 en lugar de n para la varianza muestral? Porque \(\mathbb{E}[\frac{1}{n}\sum (X_i - \bar{X})^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2\). Al dividir por \(n-1\) obtenemos un estimador insesgado: \(\mathbb{E}[S^2] = \sigma^2\).

Ejercicio

Se registra la siguiente muestra de 5 observaciones: 4, 8, 6, 5, 7. Calcule \(\bar{X}\) y \(S^2\). La media muestral es: \[ \bar{X} = \frac{4+8+6+5+7}{5} = \frac{30}{5} = 6. \] Las desviaciones respecto a la media son \(-2, 2, 0, -1, 1\), y sus cuadrados suman \(4+4+0+1+1=10\). Entonces: \[ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^5 (X_i-\bar{X})^2 = \frac{10}{4} = 2.5. \]

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