Distribución del Rango
El rango de la muestra es \(R = X_{(n)} - X_{(1)}\). Su densidad está dada por:
\[
f_R(r) = n(n-1) \int_{-\infty}^{\infty} f(u) f(r+u) [F(r+u) - F(u)]^{n-2} du, \quad r \ge 0
\]
Distribución del rango para Uniforme(0,1)
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Derivación de la densidad conjunta de (X₁, Xₙ)
\[ \begin{align*} F_{1n}(x,y) &= \mathbb{P}(X_{(1)} \le x, X_{(n)} \le y) \\ &= \mathbb{P}(X_{(n)} \le y) - \mathbb{P}(X_{(1)} > x, X_{(n)} \le y) \\ &= [F(y)]^n - [F(y) - F(x)]^n \end{align*} \] Derivando: \(f_{1n}(x,y) = n(n-1) f(x) f(y) [F(y) - F(x)]^{n-2}\)Ejemplo importante: Para uniformes en (0,1), la densidad del rango es \[ f_R(r) = n(n-1) r^{n-2} (1-r), \quad 0 \le r \le 1 \] ¡El rango tiene distribución Beta(\(n-1, 2\))!
¿Qué pasa con el rango cuando n crece?
Para uniformes (0,1), \(\mathbb{E}[R] = \frac{n-1}{n+1} \to 1\) cuando \(n \to \infty\). El rango tiende a 1 (cubre todo el intervalo). La varianza \(\operatorname{var}(R) = \frac{2(n-1)}{(n+1)^2(n+2)} \to 0\).Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 13, ej. 2) Sea \(U=(U_1,\ldots,U_n)\) una muestra aleatoria de \(U\sim\text{Unif}(\mu-\theta,\mu+\theta)\). Encuentre la f.d.p. del rango muestral \(R(U)=U_{(n)}-U_{(1)}\).
Como \(\text{Unif}(\mu-\theta,\mu+\theta) = \mu-\theta+2\theta\cdot\text{Unif}(0,1)\) (una transformación afín), el rango \(R\) de la muestra \(U\) es simplemente \(2\theta\) veces el rango \(R'\) de una muestra de \(n\) Uniforme(0,1) i.i.d. — la traslación por \(\mu-\theta\) se cancela al restar \(U_{(n)}-U_{(1)}\), y el reescalamiento por \(2\theta\) pasa directamente al rango.Ya sabemos (ejemplo de esta página) que \(R'\sim\text{Beta}(n-1,2)\), con densidad \(f_{R'}(r')=n(n-1)r'^{n-2}(1-r')\) para \(0\le r'\le1\). Como \(R=2\theta R'\), usando el cambio de variable \(r'=r/(2\theta)\), \(dr'/dr=1/(2\theta)\): \[ f_R(r) = f_{R'}\!\left(\frac{r}{2\theta}\right)\cdot\frac{1}{2\theta} = \frac{n(n-1)}{2\theta}\left(\frac{r}{2\theta}\right)^{n-2}\left(1-\frac{r}{2\theta}\right), \quad 0\le r\le 2\theta. \]
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