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Transformación de Variables Aleatorias (Caso Univariado)

Si \(X\) es una variable aleatoria continua con densidad \(f_X\) y \(Y = g(X)\) es una transformación monótona (creciente o decreciente) y derivable, entonces: \[ f_Y(y) = f_X(h(y)) \left| \frac{dh(y)}{dy} \right|, \quad \text{donde } h = g^{-1} \] Si \(g\) no es monótona, se particiona el soporte en regiones donde sí lo sea: \[ f_Y(y) = \sum_{k=1}^{m} f_X(h_k(y)) \left| \frac{dh_k(y)}{dy} \right| \]

Simulador: Transformación de una uniforme a exponencial

1.0
Derivación: Transformación Uniforme → Exponencial Sea \(U \sim \text{Unif}(0,1)\) y definimos \(Y = -\frac{1}{\lambda} \log(1-U)\).
\(F_U(u) = u\) para \(0<u<1\). La función inversa: \(u = h(y) = 1 - e^{-\lambda y}\).
\(\left| \frac{dh}{dy} \right| = \lambda e^{-\lambda y}\).
Entonces \(f_Y(y) = f_U(h(y)) \cdot \lambda e^{-\lambda y} = 1 \cdot \lambda e^{-\lambda y}\).
¡Es la densidad de una exponencial con tasa λ!

Ejemplo del PDF: Transformación de una normal a lognormal
Si \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\) y \(X = e^Y\), entonces: \[ f_X(x) = \frac{1}{x\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x - \mu}{\sigma}\right)^2\right\}, \quad x > 0 \] Esta es la distribución Lognormal.

¿Qué pasa si aplicamos la transformación \(Y = X^2\) a una normal estándar? Si \(Z \sim N(0,1)\) y \(Y = Z^2\), la transformación no es monótona (tiene dos ramas: \(z = \pm\sqrt{y}\)). \[ f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} [f_Z(\sqrt{y}) + f_Z(-\sqrt{y})] = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}, \quad y>0 \] ¡Esta es la densidad de una \(\chi^2_1\) (Gamma con α=1/2, β=2)!

Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 9, ej. 1) Sea \(X\) distribuida uniformemente en el intervalo \((0,1)\). Encuentre la f.d.p. de \(Y=X^{1/\beta}\) para \(\beta\neq0\). Para \(\beta>0\), \(g(x)=x^{1/\beta}\) es creciente en \((0,1)\), con soporte \(y\in(0,1)\). La inversa es \(h(y)=x=y^\beta\), y \[ \left|\frac{dh}{dy}\right| = \left|\beta y^{\beta-1}\right| = \beta y^{\beta-1} \quad (\beta>0, \ 0<y<1). \] Como \(f_X(x)=1\) en \((0,1)\): \[ f_Y(y) = f_X(h(y))\left|\frac{dh}{dy}\right| = \beta y^{\beta-1}, \quad 0<y<1. \] Esta es exactamente la densidad de una \(\text{Beta}(\beta,1)\) — así que elevar una Uniforme(0,1) a la potencia \(1/\beta\) genera una Beta(β,1). (Para \(\beta<0\) el argumento es análogo pero \(g\) es decreciente y el soporte cambia a \(y>1\).)

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