Desigualdad de Chebyshev
Desigualdad de Chebyshev: Sea \(X\) con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finitas. Entonces, para todo \(\epsilon > 0\):
\[
\mathbb{P}(|X - \mu| \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}
\]
Equivalentemente, para \(k > 0\):
\[
\mathbb{P}(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}, \quad \mathbb{P}(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}
\]
Visualización: Cota de Chebyshev vs probabilidad real
2.0
Demostración
Sea \(Y = (X - \mu)^2 \ge 0\). Aplicando Markov a \(Y\) con \(c = \epsilon^2\): \[ \mathbb{P}((X-\mu)^2 \ge \epsilon^2) \le \frac{\mathbb{E}[(X-\mu)^2]}{\epsilon^2} = \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \] Como \(\{(X-\mu)^2 \ge \epsilon^2\} = \{|X-\mu| \ge \epsilon\}\), se obtiene el resultado.Ejemplo del PDF (tienda): Número de clientes por día: media 20, desviación 2.
\[
\mathbb{P}(17 \le X \le 23) = \mathbb{P}(|X-20| < 3) \ge 1 - \frac{4}{9} \approx 0.5556
\]
Si usamos \(k=2\) (2 desviaciones): \(\mathbb{P}(|X-20| < 4) \ge 1 - 1/4 = 0.75\)
¡Chebyshev garantiza al menos 75% de probabilidad en el intervalo [16,24]!
No comments to display
No comments to display