Cálculo de Probabilidades II
Esperanza y covarianza de vectores aleatorios
Esperanza de funciones de vectores aleatorios
El Teorema del Estadístico Inconsciente (TEI) nos dice cómo calcular la esperanza de una func...
Covarianza y Correlación
La covarianza mide la asociación lineal entre dos variables: \[ \operatorname{cov}(X,Y) = \ma...
Media y Varianza Muestral
Para una muestra \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\): \[ \b...
Vector de Medias y Matriz de Covarianzas
Para un vector aleatorio \(\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)^T\): \[ \boldsymbol{\mu} = \mathbb...
Sumas Aleatorias
Sea \(N\) una variable aleatoria entera no negativa, y \(X_1, X_2, \ldots\) i.i.d. independie...
Mezclas de Distribuciones
Una mezcla de distribuciones tiene densidad: \[ f_X(x) = \sum_{i=1}^k p_i f_i(x), \quad \text...
Función generadora de momentos
Función Generadora de Momentos - Definición
La función generadora de momentos (FGM) es una herramienta poderosa que "codifica" todos los ...
Suma de Variables Aleatorias Independientes
Una de las aplicaciones más importantes de la FGM es encontrar la distribución de sumas de va...
Teorema de Unicidad
El Teorema de Unicidad es fundamental: si dos variables aleatorias tienen la misma FGM en un ...
FGM Conjunta (Multivariada)
Para un vector aleatorio \((X,Y)\), la FGM conjunta es \[ m_{XY}(u,v) = \mathbb{E}[e^{uX + vY...
Función Característica
La función característica (FC) se define como \[ \varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}] = \mathbb...
Distribución multinomial
De Binomial a Trinomial
La distribución binomial cuenta cuántos ensayos caen en una categoría (éxito) vs el resto. La...
Distribución Multinomial General
La distribución multinomial generaliza la trinomial a \(k\) categorías. \[ \mathbf{X} = (X_1,...
FGM Conjunta de la Multinomial
La FGM conjunta es una herramienta poderosa para derivar propiedades de la multinomial. Teo...
Aplicación: Costo de reparación
Problema (Wackerly et al., Ej. 5.120): Una muestra de \(n\) artículos. \(p_1\) = proporción c...
Correlación entre categorías
El coeficiente de correlación entre \(X_i\) y \(X_j\) (con \(i \neq j\)) es siempre negativo,...
Distribución normal multivariada
Distribución Normal Bivariada
La distribución normal bivariada es la generalización natural de la normal univariada a dos d...
Distribuciones Condicionales
Una propiedad clave de la normal bivariada es que las distribuciones condicionales también so...
Normal Multivariada General
La distribución normal multivariada de dimensión \(p\) se define como: \[ \mathbf{X} \sim N_p...
Descomposición Espectral y Componentes Principales
La descomposición espectral de \(\boldsymbol{\Sigma}\) es: \[ \boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{Q...
Distribuciones Condicionales (Caso General)
Particionamos \(\mathbf{X} = \begin{pmatrix} \mathbf{X}_1 \\ \mathbf{X}_2 \end{pmatrix}\) con...
Transformaciones de variables y vectores aleatorios
Transformación de Variables Aleatorias (Caso Univariado)
Si \(X\) es una variable aleatoria continua con densidad \(f_X\) y \(Y = g(X)\) es una transf...
Distribución Lognormal
Una variable \(X\) tiene distribución lognormal con parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\) si \(\l...
Transformación Integral de Probabilidad
Teorema fundamental de simulación: Si \(X\) es una variable continua con función de distribuc...
Transformaciones Multivariadas y el Jacobiano
Para transformaciones de vectores, la fórmula incluye el determinante jacobiano: \[ f_Y(y) = ...
Distribución t de Student
La distribución t de Student con \(n\) grados de libertad se define como: \[ T = \frac{Z}{\sq...
Transformación Box-Muller
La transformación Box-Muller (1958) permite generar dos normales estándar independientes a pa...
Suma y cociente de variables y vectores aleatorios
Suma de Variables Aleatorias - Convolución
Para variables independientes, la densidad de la suma \(Z = X + Y\) es la convolución: \[ f_Z...
Suma de Gammas y Propiedades de la Convolución
La convolución es una operación entre funciones que es: Conmutativa: \(f_X * f_Y = f_Y * f_X...
Cociente de Variables Aleatorias
Para el cociente \(Z = Y/X\), la densidad está dada por: \[ f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\inf...
Distribución F (Fisher-Snedecor)
La distribución \(F\) con \(m\) y \(n\) grados de libertad se define como: \[ W = \frac{X/m}{...
Aplicaciones: Cociente de Chi-cuadradas
Sean \(X \sim \chi^2_m\) e \(Y \sim \chi^2_n\) independientes. Entonces: \[ Z = \frac{X}{Y} \...
Estadísticos de orden
Estadísticos de Orden - Definición
Sea \(X_1, \ldots, X_n\) una muestra aleatoria (i.i.d.) de una población con función de distr...
Distribución del Mínimo y Máximo
Para el máximo \(X_{(n)}\): \[ F_{X_{(n)}}(x) = [F(x)]^n, \quad f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) [F(x)...
Distribución del r-ésimo Estadístico de Orden
La función de densidad del r-ésimo estadístico de orden \(X_{(r)}\) es: \[ f_{X_{(r)}}(x) = n...
Distribución del Rango
El rango de la muestra es \(R = X_{(n)} - X_{(1)}\). Su densidad está dada por: \[ f_R(r) = n...
Densidad Conjunta de los Estadísticos de Orden
La densidad conjunta de todos los estadísticos de orden es: \[ f_{X_{(1)},\ldots,X_{(n)}}(y_1...
Aplicación: Personas en una milla
Problema: Se distribuyen \(n\) personas "al azar" a lo largo de una milla. ¿Cuál es la probab...
Desigualdades
Desigualdad de Markov
Desigualdad de Markov: Sea \(X\) una variable aleatoria no negativa con media finita \(\mu_X\...
Desigualdad de Chebyshev
Desigualdad de Chebyshev: Sea \(X\) con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finitas. Entonc...
Chebyshev Unilateral (Cantelli)
La desigualdad de Chebyshev unilateral (o de Cantelli) acota la probabilidad de una cola: \[ ...
Desigualdad de Jensen
Desigualdad de Jensen: Si \(h\) es una función convexa, entonces \[ \mathbb{E}[h(X)] \ge h(\m...
Comparación de Cotas: Markov vs Chebyshev vs Unilateral
Para una variable positiva con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), comparamos las tres cot...
Sucesión de variables aleatorias y teorema límite
Modos de Convergencia de Variables Aleatorias
Existen cuatro modos principales de convergencia para sucesiones de variables aleatorias: Co...
Ley de los Grandes Números (LGN)
Ley Débil de los Grandes Números (LDGN): \[ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightar...
Teorema Central del Límite (TCL)
Teorema Central del Límite (Lindberg-Lévy): \[ Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} ...
Aplicaciones: Encuestas y Márgenes de Error
Para una proporción poblacional \(p\), el estimador \(\hat{p} = \bar{X}_n\) satisface: \[ \ha...
Teorema de Slutsky y Resultados Relacionados
Teorema de Slutsky: Si \(X_n \xrightarrow{D} X\) y \(Y_n \xrightarrow{P} c\) (constante), ent...
Distribuciones Condicionales
Caso discreto: masa condicional y regla de Bayes
Intuición: Cuando observamos un valor específico de una variable, actualizamos nuestra creenc...
Caso continuo: densidad condicional y ley del estadístico inconsciente
Intuición: En el mundo continuo, condicionar en un evento de probabilidad cero (Y=y) requiere...
Esperanza y varianza condicional: leyes de la probabilidad total
Intuición: La esperanza condicional \(E[Y|X]\) es una variable aleatoria que resume la tenden...
Teorema de Probabilidad Total y regla de Bayes (discreto/continuo)
Intuición: El Teorema de Probabilidad Total nos permite obtener la distribución marginal a pa...
Vectores Aleatorios
Espacios de Probabilidad
Un espacio de probabilidad es el escenario donde ocurre lo aleatorio. Considere un experiment...
Vectores Aleatorios Discretos
Considere \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\) un espacio de probabilidad y \((X,Y): \Omega \t...
Función de Probabilidad Acumulada Conjunta
La función de probabilidad acumulada conjunta (f.p.a.), o función de distribución, generaliza...
Vectores Aleatorios Continuos
Un vector aleatorio continuo puede tomar cualquier valor en una región del plano. Su comporta...
Independencia de Variables Aleatorias
Dos variables \(X\) y \(Y\) son independientes si conocer el valor de una no aporta informaci...