Skip to main content

Distribución Lognormal

Una variable \(X\) tiene distribución lognormal con parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\) si \(\log X \sim N(\mu, \sigma^2)\). Su densidad es: \[ f_X(x) = \frac{1}{x\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x - \mu}{\sigma}\right)^2\right\}, \quad x > 0 \]

Explora la distribución Lognormal

0.0 0.50

Propiedades de la Lognormal:

  • \(\mathbb{E}[X] = \exp\left\{\mu + \frac{\sigma^2}{2}\right\}\)
  • \(\operatorname{var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}\)
  • \(\mathbb{E}[X^r] = \exp\left\{r\mu + \frac{1}{2}r^2\sigma^2\right\}\) (todos los momentos finitos)
  • No tiene FGM (crece demasiado rápido)
Demostración de los momentos Como \(\log X = Y \sim N(\mu, \sigma^2)\), la FGM de \(Y\) es \(m_Y(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}\).
Entonces \(\mathbb{E}[X^r] = \mathbb{E}[e^{rY}] = m_Y(r) = \exp\left\{r\mu + \frac{1}{2}r^2\sigma^2\right\}\).
¿Por qué la lognormal no tiene FGM si tiene todos los momentos finitos? La FGM es \(m_X(t) = \mathbb{E}[e^{tX}]\). Para la lognormal, \(e^{tX}\) crece como \(e^{t e^Y}\), que es super-exponencial. La integral diverge para cualquier \(t > 0\). Este es un contraejemplo clásico: tener todos los momentos finitos no garantiza la existencia de la FGM.

Ejercicio

Sea \(X\) lognormal con \(\mu=1\), \(\sigma=0.5\). Calcule \(\mathbb{E}[X]\) y \(\operatorname{var}(X)\). Usando las fórmulas de esta página: \[ \mathbb{E}[X] = \exp\left\{1 + \frac{0.25}{2}\right\} = e^{1.125} \approx 3.0802. \] \[ \operatorname{var}(X) = (e^{0.25}-1)e^{2(1)+0.25} = (1.2840-1)(e^{2.25}) \approx 0.2840\times9.4877 \approx 2.6948. \] Nótese que \(\operatorname{var}(X) \approx 2.69\) es menor que \((\mathbb{E}[X])^2\approx9.49\) aquí, pero para \(\sigma\) más grande la varianza crece mucho más rápido que la media (por el factor \(e^{\sigma^2}\)) — pruébelo en el simulador subiendo \(\sigma\).

No comments to display

Back to top