Desigualdad de Jensen
Desigualdad de Jensen: Si \(h\) es una función convexa, entonces
\[
\mathbb{E}[h(X)] \ge h(\mathbb{E}[X])
\]
Si \(h\) es cóncava, la desigualdad se invierte:
\[
\mathbb{E}[h(X)] \le h(\mathbb{E}[X])
\]
Verificación de Jensen para diferentes funciones
Demostración geométrica
Para una función convexa \(h\), existe una recta soporte \(\ell(x) = a + bx\) que pasa por \((\mathbb{E}[X], h(\mathbb{E}[X]))\) y satisface \(h(x) \ge \ell(x)\) para todo \(x\).Tomando esperanza: \[ \mathbb{E}[h(X)] \ge \mathbb{E}[\ell(X)] = a + b\mathbb{E}[X] = \ell(\mathbb{E}[X]) = h(\mathbb{E}[X]) \]
Ejemplo del PDF: Sea \(X \sim \text{Unif}(0,1)\). \(h(x) = x^2\) (convexa). \[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{2}, \quad h(\mathbb{E}[X]) = \frac{1}{4} \] \[ \mathbb{E}[h(X)] = \mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \ge 0.25 \] ¡Se cumple la desigualdad!
Aplicación importante: ¿Qué dice Jensen sobre \(\mathbb{E}[1/X]\) vs \(1/\mathbb{E}[X]\)?
La función \(h(x) = 1/x\) es convexa para \(x > 0\). Por Jensen: \[ \mathbb{E}[1/X] \ge 1/\mathbb{E}[X] \] Esto es útil en finanzas (el rendimiento esperado de un activo no es el recíproco del rendimiento esperado de su inverso).Ejercicio
Sea \(X\sim\text{Exponencial}(\lambda=1)\) y \(h(x)=\sqrt{x}\) (cóncava para \(x\ge0\)). Verifique la desigualdad de Jensen calculando \(\mathbb{E}[\sqrt{X}]\) y \(\sqrt{\mathbb{E}[X]}\).
Como \(X\sim\text{Exp}(1)=\text{Gamma}(\alpha=1,\lambda=1)\), \(\mathbb{E}[X]=1\), así que \(\sqrt{\mathbb{E}[X]}=1\).Para \(\mathbb{E}[\sqrt{X}]=\mathbb{E}[X^{1/2}]\), usamos la fórmula general de momentos de la Gamma (vista en el capítulo de FGM), \(\mathbb{E}[Y^a]=\beta^a\Gamma(\alpha+a)/\Gamma(\alpha)\), con \(\alpha=1\), \(\beta=1\), \(a=1/2\): \[ \mathbb{E}[\sqrt{X}] = \Gamma(1.5) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0.8862. \] Como \(h\) es cóncava, Jensen predice \(\mathbb{E}[h(X)]\le h(\mathbb{E}[X])\), y efectivamente: \[ \mathbb{E}[\sqrt{X}] \approx 0.8862 \le 1 = \sqrt{\mathbb{E}[X]}. \] Se cumple la desigualdad, con una brecha considerable — la raíz cuadrada "comprime" los valores grandes de \(X\) más de lo que "expande" los pequeños, así que promediar después de aplicar \(\sqrt{\cdot}\) da un valor menor que aplicar \(\sqrt{\cdot}\) después de promediar.
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