Intuición: Cuando observamos un valor específico de una variable, actualizamos nuestra creencia sobre la otra. Por ejemplo, si lanzamos dos dados pero sabemos que el segundo dado (Y) es un número par, la probabilidad de que X sea 3 cambia. La función de masa condicional \(f(x|y)\) reescala la conjunta.
Simulador: dados cargados (ejemplo del apunte)
Distribución conjunta modificable: ajusta los pesos relativos de cada celda (X filas 1..6, Y columnas 1..6). Observa la tabla condicional \(f(x|Y=2)\).
2
Ver respuesta exploratoria
Al modificar el peso (2,2), la fila Y=2 concentra más masa en x=2. Observa que la suma sobre x siempre es 1. La fórmula \(f(x|y)=f(x,y)/f_Y(y)\) se verifica: la probabilidad condicional refleja la nueva escala.
Notación formal (discreta): Sean \(X,Y\) discretas con \(f(x,y)\). Para \(f_Y(y)>0\):
\[
f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}, \quad \mathbb{P}(X=x|Y=y) = f(x|y).
\]
Regla de Bayes: \( f(y|x) = \frac{f(x|y)f_Y(y)}{\sum_{y'}f(x|y')f_Y(y')} \).
Ejercicio
(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 3, ej. 2) De un grupo de 9 estudiantes internacionales: 4 mexicanos, 2 españoles y 3 franceses, se eligen tres estudiantes para otorgarles una beca. Sea \(X\) el número de estudiantes mexicanos elegidos, \(Y\) el número de españoles elegidos, y \(Z\) el número de franceses elegidos. Si se sabe que exactamente un francés recibió beca, calcule el número esperado de españoles que recibirán beca.
Condicionar en \(Z=1\) (exactamente un francés elegido) significa que los otros 2 lugares de la beca se reparten entre los 6 estudiantes no franceses (4 mexicanos + 2 españoles), elegidos sin reemplazo. Así, condicional a \(Z=1\), \(Y\) sigue una distribución Hipergeométrica con \(N=6\) (población no francesa), \(M=2\) (españoles), \(n=2\) (lugares restantes):
\[
\mathbb{E}[Y\mid Z=1] = n\cdot\frac{M}{N} = 2\cdot\frac{2}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.667.
\]
Este es un ejemplo directo de \(f_{Y|Z}(y|z)=f(y,z)/f_Z(z)\): condicionar en el conteo de una categoría dentro de un muestreo sin reemplazo multivariado reduce el problema a una hipergeométrica sobre las categorías restantes — la misma idea vista en el capítulo de la distribución multinomial.
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