# FGM Conjunta de la Multinomial

<div class="taller" data-applet="cpii-mn-fgm" id="bkmrk-la-fgm-conjunta-es-u"><div class="taller-container"><div class="callout info">La **FGM conjunta** es una herramienta poderosa para derivar propiedades de la multinomial. </div>**Teorema:** Sea \\(\\mathbf{X} \\sim \\text{Multinomial}(n, p\_1, \\ldots, p\_k)\\). Entonces \\\[ m\_{\\mathbf{X}}(\\mathbf{t}) = \\mathbb{E}\[e^{\\mathbf{t}^T \\mathbf{X}}\] = (p\_1 e^{t\_1} + p\_2 e^{t\_2} + \\cdots + p\_k e^{t\_k})^n \\\]

<details class="callout warning"><summary>Demostración (usando el teorema multinomial)</summary>

\\\[ \\begin{align\*} m\_{\\mathbf{X}}(\\mathbf{t}) &amp;= \\sum\_{x\_1+\\cdots+x\_k=n} \\frac{n!}{x\_1!\\cdots x\_k!} p\_1^{x\_1}\\cdots p\_k^{x\_k} e^{t\_1 x\_1 + \\cdots + t\_k x\_k} \\\\ &amp;= \\sum\_{x\_1+\\cdots+x\_k=n} \\frac{n!}{x\_1!\\cdots x\_k!} (p\_1 e^{t\_1})^{x\_1} \\cdots (p\_k e^{t\_k})^{x\_k} \\\\ &amp;= (p\_1 e^{t\_1} + \\cdots + p\_k e^{t\_k})^n \\end{align\*} \\\] donde el último paso es precisamente el **teorema multinomial**: \\\[ (a\_1 + \\cdots + a\_k)^n = \\sum\_{x\_1+\\cdots+x\_k=n} \\frac{n!}{x\_1!\\cdots x\_k!} a\_1^{x\_1} \\cdots a\_k^{x\_k} \\\] </details><div class="card">#### FGM conjunta para k=2 (Binomial)

Para \\(X \\sim \\text{Bin}(n, p)\\), la FGM es \\(m\_X(t) = (1-p + p e^{t})^n\\)

<div class="taller-controles"><label>n:</label><span id="bkmrk-cpii-multinomial-n-fgm-val">10</span><label>p:</label><span id="bkmrk-cpii-multinomial-p-fgm-val">0.30</span><button class="button" id="bkmrk-cpii-multinomial-graficar-fgm-bin">Graficar m\_X(t)</button></div><canvas class="taller-canvas" height="300" id="bkmrk-cpii-multinomial-fgmBinCanvas" width="500"></canvas><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpii-multinomial-fgm-bin-formula"></div></div>**Ejemplo: Calcular \\(\\mathbb{E}\[X\_1 X\_2\]\\) usando la FGM conjunta**  
Para k=2, \\(m\_{X\_1,X\_2}(t\_1, t\_2) = (p\_1 e^{t\_1} + p\_2 e^{t\_2})^n\\). \\\[ \\frac{\\partial^2 m}{\\partial t\_1 \\partial t\_2} = n(n-1)(p\_1 e^{t\_1} + p\_2 e^{t\_2})^{n-2} \\cdot p\_1 e^{t\_1} \\cdot p\_2 e^{t\_2} \\\] Evaluando en \\(t\_1=t\_2=0\\): \\\[ \\mathbb{E}\[X\_1 X\_2\] = n(n-1) p\_1 p\_2 \\\] De aquí, \\(\\text{cov}(X\_1, X\_2) = n(n-1)p\_1 p\_2 - np\_1 \\cdot np\_2 = -n p\_1 p\_2\\).

## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>Use la FGM marginal de \\(X\_1\\) (que se obtiene evaluando \\(t\_2=\\cdots=t\_k=0\\) en la FGM conjunta) para verificar, derivando dos veces, que \\(\\operatorname{var}(X\_1)=np\_1(1-p\_1)\\).</summary>

Con \\(t\_2=\\cdots=t\_k=0\\), la FGM conjunta se reduce a \\(m\_1(t)=(p\_1e^t + q\_1)^n\\), con \\(q\_1=1-p\_1\\) (la FGM de una Binomial(n,p₁), consistente con la propiedad marginal). Derivando: \\\[ m\_1'(t) = n(p\_1e^t+q\_1)^{n-1}p\_1e^t \\implies m\_1'(0) = np\_1 = \\mathbb{E}\[X\_1\]. \\\] Derivando otra vez (regla del producto): \\\[ m\_1''(t) = n(n-1)(p\_1e^t+q\_1)^{n-2}(p\_1e^t)^2 + n(p\_1e^t+q\_1)^{n-1}p\_1e^t. \\\] Evaluando en \\(t=0\\) (donde \\(p\_1+q\_1=1\\)): \\\[ m\_1''(0) = n(n-1)p\_1^2 + np\_1 = \\mathbb{E}\[X\_1^2\]. \\\] Entonces: \\\[ \\operatorname{var}(X\_1) = \\mathbb{E}\[X\_1^2\]-(\\mathbb{E}\[X\_1\])^2 = n(n-1)p\_1^2+np\_1 - n^2p\_1^2 = np\_1 - np\_1^2 = np\_1(1-p\_1). \\\] Confirma la fórmula ya conocida, esta vez obtenida puramente por diferenciación de la FGM, sin usar la representación como suma de indicadoras. </details></div></div>