FGM Conjunta de la Multinomial

La FGM conjunta es una herramienta poderosa para derivar propiedades de la multinomial.
 

 Teorema: Sea \(\mathbf{X} \sim \text{Multinomial}(n, p_1, \ldots, p_k)\). Entonces
\[
m_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \mathbb{E}[e^{\mathbf{t}^T \mathbf{X}}] = (p_1 e^{t_1} + p_2 e^{t_2} + \cdots + p_k e^{t_k})^n
\] 

 
 Demostración (usando el teorema multinomial) 
\[
\begin{align*}
m_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) &= \sum_{x_1+\cdots+x_k=n} \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k} e^{t_1 x_1 + \cdots + t_k x_k} \\
&= \sum_{x_1+\cdots+x_k=n} \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} (p_1 e^{t_1})^{x_1} \cdots (p_k e^{t_k})^{x_k} \\
&= (p_1 e^{t_1} + \cdots + p_k e^{t_k})^n
\end{align*}
\]
donde el último paso es precisamente el teorema multinomial :
\[
(a_1 + \cdots + a_k)^n = \sum_{x_1+\cdots+x_k=n} \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} a_1^{x_1} \cdots a_k^{x_k}
\]
 

 
 FGM conjunta para k=2 (Binomial) 
 Para \(X \sim \text{Bin}(n, p)\), la FGM es \(m_X(t) = (1-p + p e^{t})^n\) 
 
 n: 
 
 10 
 p: 
 
 0.30 
 Graficar m_X(t) 
 
 
 
 

 Ejemplo: Calcular \(\mathbb{E}[X_1 X_2]\) usando la FGM conjunta 
Para k=2, \(m_{X_1,X_2}(t_1, t_2) = (p_1 e^{t_1} + p_2 e^{t_2})^n\).
\[
\frac{\partial^2 m}{\partial t_1 \partial t_2} = n(n-1)(p_1 e^{t_1} + p_2 e^{t_2})^{n-2} \cdot p_1 e^{t_1} \cdot p_2 e^{t_2}
\]
Evaluando en \(t_1=t_2=0\):
\[
\mathbb{E}[X_1 X_2] = n(n-1) p_1 p_2
\]
De aquí, \(\text{cov}(X_1, X_2) = n(n-1)p_1 p_2 - np_1 \cdot np_2 = -n p_1 p_2\). 

 Ejercicio 

 
 Use la FGM marginal de \(X_1\) (que se obtiene evaluando \(t_2=\cdots=t_k=0\) en la FGM conjunta) para verificar, derivando dos veces, que \(\operatorname{var}(X_1)=np_1(1-p_1)\). 
Con \(t_2=\cdots=t_k=0\), la FGM conjunta se reduce a \(m_1(t)=(p_1e^t + q_1)^n\), con \(q_1=1-p_1\) (la FGM de una Binomial(n,p₁), consistente con la propiedad marginal). Derivando:
\[
m_1'(t) = n(p_1e^t+q_1)^{n-1}p_1e^t \implies m_1'(0) = np_1 = \mathbb{E}[X_1].
\]
Derivando otra vez (regla del producto):
\[
m_1''(t) = n(n-1)(p_1e^t+q_1)^{n-2}(p_1e^t)^2 + n(p_1e^t+q_1)^{n-1}p_1e^t.
\]
Evaluando en \(t=0\) (donde \(p_1+q_1=1\)):
\[
m_1''(0) = n(n-1)p_1^2 + np_1 = \mathbb{E}[X_1^2].
\]
Entonces:
\[
\operatorname{var}(X_1) = \mathbb{E}[X_1^2]-(\mathbb{E}[X_1])^2 = n(n-1)p_1^2+np_1 - n^2p_1^2 = np_1 - np_1^2 = np_1(1-p_1).
\]
Confirma la fórmula ya conocida, esta vez obtenida puramente por diferenciación de la FGM, sin usar la representación como suma de indicadoras.