# Vectores Aleatorios Continuos

<div class="taller" data-applet="cpii-va-continuos" id="bkmrk-un-vector-aleatorio-"><div class="taller-container"><div class="callout info">Un vector aleatorio continuo puede tomar cualquier valor en una región del plano. Su comportamiento se describe mediante una **función de densidad conjunta**. </div>**Definición:** Sea \\((X,Y)\\) v.a. tal que para todo \\(A\\in\\mathcal{B}(\\mathbb{R}^2)\\) (conjuntos borelianos),

\[ \mathbb{P}\big((X,Y)\in A\big) = \mathbb{P}_{XY}(A) = \iint_A h(x,y)\,dx\,dy \] para alguna función \\(h\\ge0\\). Entonces \\((X,Y)\\) se dice (absolutamente) **continuo**, con \\(h\\) como **función de densidad de probabilidad conjunta** (f.d.p.).

<details class="callout warning"><summary>Propiedades: f.d.p. propia y relación con la f.p.a.</summary>

Sea \\((X,Y)\\) v.a. continuo con f.d.p. conjunta \\(f\\) y f.p.a. conjunta \\(F\\). Entonces 1. \\(f(x,y)\\ge0\\) para todo \\(x,y\\), y \\(\\iint\_{\\mathbb{R}^2}f(x,y)\\,dx\\,dy=1\\) (f.d.p. *propia* o *legítima*).
2. \\(F(x,y)=\\int\_{-\\infty}^x\\int\_{-\\infty}^y f(u,v)\\,dv\\,du\\).
3. Si \\(F\\) es diferenciable, \\(f(x,y)=\\dfrac{\\partial^2 F(x,y)}{\\partial x\\,\\partial y}\\).
4. Marginales: \\(f\_X(x)=\\int\_{-\\infty}^{\\infty}f(x,y)\\,dy\\), \\(\\ f\_Y(y)=\\int\_{-\\infty}^{\\infty}f(x,y)\\,dx\\) (se obtienen del Teorema Fundamental del Cálculo aplicado a \\(F\_X(x)=F(x,\\infty)\\), invirtiendo el orden de integración por el Teorema de Fubini).

</details>**Ejemplo 1 resuelto** (uniforme en el cuadrado \\(\[0,1\]\\times\[0,1\]\\)): \\(f(x,y)=\\mathbb{1}\_C(x,y)\\). Se obtiene \\(F(x,y)=xy\\) en \\(C\\), y las marginales \\(f\_X(x)=1\\), \\(f\_Y(y)=1\\) en \\(\[0,1\]\\) — es decir, \\(X,Y\\sim\\text{Unif}(0,1)\\).

**Ejemplo 2 resuelto** (soporte triangular): \\(f(x,y)=2e^{-(x+y)}\\mathbb{1}\_{\\{0\\le x\\le y&lt;\\infty\\}}(x,y)\\). Integrando, \\(f\_X(x)=2e^{-2x}\\) (exponencial de media \\(1/2\\)) y \\(f\_Y(y)=2e^{-y}(1-e^{-y})\\). Además \\(\\mathbb{P}(X+Y\\le1)=1-2e^{-1}\\approx0.2642\\).

## Aplicación interactiva

<div class="card">#### Ejemplo 1: distribución uniforme en el cuadrado \[0,1\]×\[0,1\]

<canvas class="taller-canvas" height="400" id="bkmrk-cpii-va-continuos-cuadradoCanvas" width="400"></canvas><div class="taller-controles"><label>Punto (x,y):</label><span id="bkmrk-cpii-va-continuos-cuadrado-x-val">0.50</span><span id="bkmrk-cpii-va-continuos-cuadrado-y-val">0.50</span></div><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpii-va-continuos-cuadrado-prob"></div></div><div class="card">#### Ejemplo 2: densidad con soporte triangular

\\(f(x,y) = 2e^{-(x+y)}\\) para \\(0 \\le x \\le y &lt; \\infty\\).

<canvas class="taller-canvas" height="450" id="bkmrk-cpii-va-continuos-regionCanvas" width="450"></canvas><div class="taller-controles"><label>Límite t para X+Y ≤ t:</label><span id="bkmrk-cpii-va-continuos-t-valor">1.00</span></div><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpii-va-continuos-prob-continua" style="padding:0.5rem;"></div></div>## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>Para el Ejemplo 1 (uniforme en \\(\[0,1\]^2\\)), verifique que \\(F(x,y)=xy\\) es efectivamente la f.p.a. conjunta.</summary>

Para \\((x,y)\\in\[0,1\]^2\\): \\(F(x,y)=\\int\_0^x\\int\_0^y \\mathbb{1}\_C(u,v)\\,dv\\,du = \\int\_0^x\\int\_0^y 1\\,dv\\,du = xy\\). Fuera del cuadrado se verifica por casos (si \\(x\\ge1,\\ y\\in\[0,1\]\\): \\(F(x,y)=y\\); si ambos \\(\\ge1\\): \\(F(x,y)=1\\); etc.), consistente con que \\(X,Y\\sim\\text{Unif}(0,1)\\) independientes. </details></div></div>