**Teorema de Slutsky:** Si \(X_n \xrightarrow{D} X\) y \(Y_n \xrightarrow{P} c\) (constante), entonces: - \\(X\_n + Y\_n \\xrightarrow{D} X + c\\) - \\(X\_n Y\_n \\xrightarrow{D} cX\\) - \\(X\_n / Y\_n \\xrightarrow{D} X/c\\) (si \\(c \\neq 0\\))

#### Verificación: Teorema de Slutsky con simulación

Distribución de X:c (constante):1.0

**Teorema de Mapeo Continuo:** Si \\(g\\) es continua y \\(X\_n \\xrightarrow{D} X\\), entonces \\(g(X\_n) \\xrightarrow{D} g(X)\\). **Aplicación importante:** Si \\(Z\_n \\xrightarrow{D} N(0,1)\\), entonces \\(Z\_n^2 \\xrightarrow{D} \\chi^2\_1\\).

**¿Qué aplicación tiene Slutsky en la práctica estadística?**

Slutsky es fundamental para justificar que si \\(\\hat{\\sigma}^2\\) es un estimador consistente de \\(\\sigma^2\\), entonces \\(\\frac{\\bar{X}\_n - \\mu}{\\hat{\\sigma}/\\sqrt{n}} \\xrightarrow{D} N(0,1)\\). ¡Permite usar la desviación estándar muestral en intervalos de confianza!

## Ejercicio

Sea \\(\\bar{X}\_n\\) la media muestral de \\(n=100\\) observaciones i.i.d. Bernoulli(0.3). Use el TCL y el Teorema de Mapeo Continuo para describir la distribución límite de \\(W\_n = \\dfrac{n(\\bar{X}\_n-0.3)^2}{0.3\\times0.7}\\).

Por el TCL, con \\(p=0.3\\), \\(p(1-p)=0.21\\): \\\[ Z\_n = \\frac{\\bar{X}\_n - 0.3}{\\sqrt{0.21/n}} = \\sqrt{n}\\cdot\\frac{\\bar{X}\_n-0.3}{\\sqrt{0.21}} \\xrightarrow{D} Z\\sim N(0,1). \\\] Reescribiendo \\(W\_n\\) en términos de \\(Z\_n\\): \\\[ W\_n = \\frac{n(\\bar{X}\_n-0.3)^2}{0.21} = \\left(\\sqrt{n}\\cdot\\frac{\\bar{X}\_n-0.3}{\\sqrt{0.21}}\\right)^2 = Z\_n^2. \\\] Aplicando el Teorema de Mapeo Continuo con la función continua \\(g(z)=z^2\\) a \\(Z\_n\\xrightarrow{D}Z\\sim N(0,1)\\): \\\[ W\_n = Z\_n^2 \\xrightarrow{D} Z^2 \\sim \\chi^2\_1. \\\] Este resultado — que el cuadrado de un estadístico estandarizado asintóticamente normal converge a una \\(\\chi^2\_1\\) — es exactamente la base de las pruebas de bondad de ajuste y de las pruebas de proporciones en estadística inferencial.