# Teorema de Probabilidad Total y regla de Bayes (discreto/continuo)

<div class="taller" data-applet="cpii-dc-bayes" id="bkmrk-intuici%C3%B3n%3A-el-teorem"><div class="taller-container"><div class="callout info">**Intuición:** El Teorema de Probabilidad Total nos permite obtener la distribución marginal a partir de las condicionales. La regla de Bayes invierte el condicionamiento: actualizamos nuestra creencia sobre un parámetro después de observar datos. </div><div class="card">#### Ejemplo: calidad de piezas (discreto-continuo)

Una máquina produce piezas defectuosas con tasa Θ (probabilidad de defecto) que varía entre lotes: Θ ∼ Beta(a,b). Luego, D | Θ = θ ∼ Bernoulli(θ). Modelo Beta-Binomial.

<div class="taller-controles"><label for="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-betaA">a (Beta):</label><span class="taller-value" id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-aVal">2.0</span></div><div class="taller-controles"><label for="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-betaB">b (Beta):</label><span class="taller-value" id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-bVal">2.0</span></div><div class="taller-controles"><label for="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-obsK">Piezas defectuosas observadas, k (de n=3 ensayos):</label></div><button class="button" id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-updatePosterior">Actualizar distribución a posteriori de Θ | datos</button><canvas class="taller-canvas" height="200" id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-posteriorCanvas" width="500"></canvas><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-posteriorStats">Posterior: Beta(a+k, b+n-k)</div></div><details class="callout info"><summary>Ver respuesta conceptual</summary>

Teorema de Probabilidad Total: \\(P(Datos) = \\int P(Datos|\\theta) f\_\\Theta(\\theta)d\\theta\\). Bayes: \\(f(\\theta|datos) \\propto f(datos|\\theta)f\_\\Theta(\\theta)\\). La distribución posterior es Beta(a+k, b+n-k), combinando información previa y evidencia. </details>**Fórmulas:** Probabilidad total: \\(f\_X(x) = \\sum\_y f(x|y)f\_Y(y)\\) (discreto) o integral (continuo). Regla de Bayes: \\(f(y|x) = \\frac{f(x|y)f\_Y(y)}{\\int f(x|v)f\_Y(v)dv}\\).

## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 4, ej. 4) De acuerdo con estadísticas de una compañía aseguradora, el 60% de los conductores se clasifican como buenos conductores y el resto como malos. Para buenos conductores, el monto promedio de reclamación es de $1,400 con varianza 40,000. Para los malos conductores, el monto medio de reclamación es de $2,000 con varianza 250,000. Calcule la varianza del monto de un siniestro seleccionado aleatoriamente.</summary>

Sea \\(I\\) el tipo de conductor (bueno con probabilidad 0.6, malo con 0.4) y \\(X\\) el monto de reclamación. Primero, la media total por probabilidad total: \\\[ \\mathbb{E}\[X\] = 0.6(1400) + 0.4(2000) = 840+800 = 1640. \\\] Usando la ley de varianza total, \\(\\operatorname{Var}(X)=\\mathbb{E}\[\\operatorname{Var}(X|I)\]+\\operatorname{Var}(\\mathbb{E}\[X|I\])\\): \\\[ \\mathbb{E}\[\\operatorname{Var}(X|I)\] = 0.6(40{,}000) + 0.4(250{,}000) = 24{,}000+100{,}000 = 124{,}000, \\\] \\\[ \\operatorname{Var}(\\mathbb{E}\[X|I\]) = 0.6(1400-1640)^2 + 0.4(2000-1640)^2 = 0.6(57{,}600)+0.4(129{,}600) = 34{,}560+51{,}840 = 86{,}400. \\\] Sumando: \\\[ \\operatorname{Var}(X) = 124{,}000 + 86{,}400 = 210{,}400. \\\] La varianza total combina la variabilidad "dentro de cada grupo" (124,000) más la variabilidad "entre grupos" causada por no saber de antemano si el conductor es bueno o malo (86,400) — exactamente el mismo principio de descomposición usado en el simulador Poisson-Gamma de la página anterior. </details></div></div>