Teorema de Probabilidad Total y regla de Bayes (discreto/continuo)
Intuición: El Teorema de Probabilidad Total nos permite obtener la distribución marginal a partir de las condicionales. La regla de Bayes invierte el condicionamiento: actualizamos nuestra creencia sobre un parámetro después de observar datos.
Ejemplo: calidad de piezas (discreto-continuo)
Una máquina produce piezas defectuosas con tasa Θ (probabilidad de defecto) que varía entre lotes: Θ ∼ Beta(a,b). Luego, D | Θ = θ ∼ Bernoulli(θ). Modelo Beta-Binomial.
2.0
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Posterior: Beta(a+k, b+n-k)
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Teorema de Probabilidad Total: \(P(Datos) = \int P(Datos|\theta) f_\Theta(\theta)d\theta\). Bayes: \(f(\theta|datos) \propto f(datos|\theta)f_\Theta(\theta)\). La distribución posterior es Beta(a+k, b+n-k), combinando información previa y evidencia.Fórmulas: Probabilidad total: \(f_X(x) = \sum_y f(x|y)f_Y(y)\) (discreto) o integral (continuo). Regla de Bayes: \(f(y|x) = \frac{f(x|y)f_Y(y)}{\int f(x|v)f_Y(v)dv}\).