# Mezclas de Distribuciones

<div class="taller" data-applet="cpii-ec-mezclas" id="bkmrk-una-mezcla-de-distri"><div class="taller-container"><div class="callout info">Una **mezcla** de distribuciones tiene densidad: \[ f_X(x) = \sum_{i=1}^k p_i f_i(x), \quad \text{con } p_i &gt; 0, \sum p_i = 1 \] Es como elegir al azar de cuál distribución proviene la observación. </div><div class="card">#### Mezcla de dos normales (distribución contaminada)

<div class="taller-controles"><label>Probabilidad de la normal estándar (p):</label><span id="bkmrk-cpii-esperanza-cov-p-val">0.70</span><label>Desviación de la contaminante (σ):</label><span id="bkmrk-cpii-esperanza-cov-sigma-val">3.0</span></div><canvas class="taller-canvas" height="300" id="bkmrk-cpii-esperanza-cov-mezclaCanvas" width="500"></canvas><div id="bkmrk-cpii-esperanza-cov-mezcla-info" style="text-align:center; margin-top:0.5rem;"></div></div>**Propiedades de la mezcla:**\\\[ \\mathbb{E}\[X\] = \\sum\_{i=1}^k p\_i \\mu\_i \\\] \\\[ \\operatorname{var}(X) = \\sum\_{i=1}^k p\_i \\sigma\_i^2 + \\sum\_{i=1}^k p\_i (\\mu\_i - \\bar{\\mu})^2 \\\] (varianza dentro de los grupos + varianza entre las medias)

<details class="callout info"><summary>**Observa:** Cuando σ es grande, ¿cómo cambia la forma de la densidad?</summary>

Aparece una "cola" más pesada. Las mezclas de normales son útiles para modelar datos atípicos o poblaciones heterogéneas (ej: pesos de personas de diferentes edades). </details>**Ejemplo adicional:** Poisson con media aleatoria Gamma produce una distribución Binomial Negativa (modelo para número de accidentes).

## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>Un tiempo de espera \\(X\\) sigue una mezcla de dos exponenciales: con probabilidad \\(p=0.6\\) proviene de Exponencial(\\(\\lambda\_1=1\\)), y con probabilidad \\(0.4\\) de Exponencial(\\(\\lambda\_2=3\\)). Calcule \\(\\mathbb{E}\[X\]\\) y \\(\\operatorname{var}(X)\\).</summary>

Las medias de cada componente son \\(\\mu\_1=1/\\lambda\_1=1\\) y \\(\\mu\_2=1/\\lambda\_2=1/3\\). Usando la fórmula de la media de una mezcla: \\\[ \\mathbb{E}\[X\] = 0.6(1) + 0.4\\left(\\frac{1}{3}\\right) = 0.7333. \\\] Para la varianza usamos \\(\\operatorname{var}(X)=\\sum p\_i\\sigma\_i^2+\\sum p\_i(\\mu\_i-\\bar\\mu)^2\\), con \\(\\sigma\_1^2=1\\), \\(\\sigma\_2^2=1/9\\approx0.1111\\) (varianza de cada exponencial es \\(1/\\lambda^2\\)) y \\(\\bar\\mu=\\mathbb{E}\[X\]=0.7333\\): \\\[ \\text{dentro de grupos: } 0.6(1)+0.4(0.1111) = 0.6444, \\\] \\\[ \\text{entre medias: } 0.6(1-0.7333)^2+0.4(0.3333-0.7333)^2 = 0.6(0.2667)^2+0.4(-0.4)^2 = 0.1067, \\\] \\\[ \\operatorname{var}(X) = 0.6444+0.1067 = 0.7511. \\\] Se puede verificar directamente con \\(\\operatorname{var}(X)=\\mathbb{E}\[X^2\]-(\\mathbb{E}\[X\])^2\\), usando \\(\\mathbb{E}\[X^2\]=\\sum p\_i\\cdot\\frac{2}{\\lambda\_i^2}=0.6(2)+0.4(2/9)=1.2889\\): \\(1.2889-0.7333^2=0.7511\\). ✓ </details></div></div>