Para una muestra \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\): \[ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \qquad S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2 \]

#### Simulador: Comportamiento de la media muestral

Distribución:Tamaño muestral n:30

**Propiedades fundamentales:** - \\(\\mathbb{E}\[\\bar{X}\_n\] = \\mu\\) (insesgado) - \\(\\operatorname{var}(\\bar{X}\_n) = \\sigma^2/n\\) - \\(\\mathbb{E}\[S^2\] = \\sigma^2\\) (cuasivarianza insesgada) La división por \\(n-1\\) (en lugar de \\(n\\)) corrige el sesgo.

**¿Por qué usamos n-1 en lugar de n para la varianza muestral?**

Porque \\(\\mathbb{E}\[\\frac{1}{n}\\sum (X\_i - \\bar{X})^2\] = \\frac{n-1}{n}\\sigma^2\\). Al dividir por \\(n-1\\) obtenemos un estimador insesgado: \\(\\mathbb{E}\[S^2\] = \\sigma^2\\).

## Ejercicio

Se registra la siguiente muestra de 5 observaciones: 4, 8, 6, 5, 7. Calcule \\(\\bar{X}\\) y \\(S^2\\).

La media muestral es: \\\[ \\bar{X} = \\frac{4+8+6+5+7}{5} = \\frac{30}{5} = 6. \\\] Las desviaciones respecto a la media son \\(-2, 2, 0, -1, 1\\), y sus cuadrados suman \\(4+4+0+1+1=10\\). Entonces: \\\[ S^2 = \\frac{1}{n-1}\\sum\_{i=1}^5 (X\_i-\\bar{X})^2 = \\frac{10}{4} = 2.5. \\\]