Media y Varianza Muestral

Para una muestra \(X_1, \ldots, X_n\) i.i.d. con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\):
\[
\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \qquad
S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2
\]
 

 
 Simulador: Comportamiento de la media muestral 
 
 Distribución: 
 
 Normal(μ=0, σ=1) 
 Uniforme(0,1) 
 Exponencial(λ=1) 
 
 Tamaño muestral n: 
 
 30 
 Generar muestra 
 
 
 
 

 Propiedades fundamentales: 
 
 \(\mathbb{E}[\bar{X}_n] = \mu\) (insesgado) 
 \(\operatorname{var}(\bar{X}_n) = \sigma^2/n\) 
 \(\mathbb{E}[S^2] = \sigma^2\) (cuasivarianza insesgada) 
 
 La división por \(n-1\) (en lugar de \(n\)) corrige el sesgo. 

 
 ¿Por qué usamos n-1 en lugar de n para la varianza muestral? 
Porque \(\mathbb{E}[\frac{1}{n}\sum (X_i - \bar{X})^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2\). Al dividir por \(n-1\) obtenemos un estimador insesgado: \(\mathbb{E}[S^2] = \sigma^2\).
 

 Ejercicio 

 
 Se registra la siguiente muestra de 5 observaciones: 4, 8, 6, 5, 7. Calcule \(\bar{X}\) y \(S^2\). 
La media muestral es:
\[
\bar{X} = \frac{4+8+6+5+7}{5} = \frac{30}{5} = 6.
\]
Las desviaciones respecto a la media son \(-2, 2, 0, -1, 1\), y sus cuadrados suman \(4+4+0+1+1=10\). Entonces:
\[
S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^5 (X_i-\bar{X})^2 = \frac{10}{4} = 2.5.
\]