Una variable \(X\) tiene distribución **lognormal** con parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\) si \(\log X \sim N(\mu, \sigma^2)\). Su densidad es: \[ f_X(x) = \frac{1}{x\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log x - \mu}{\sigma}\right)^2\right\}, \quad x > 0 \]

#### Explora la distribución Lognormal

μ (media en escala log):0.0σ (desviación en escala log):0.50

**Propiedades de la Lognormal:** - \\(\\mathbb{E}\[X\] = \\exp\\left\\{\\mu + \\frac{\\sigma^2}{2}\\right\\}\\) - \\(\\operatorname{var}(X) = (e^{\\sigma^2} - 1) e^{2\\mu + \\sigma^2}\\) - \\(\\mathbb{E}\[X^r\] = \\exp\\left\\{r\\mu + \\frac{1}{2}r^2\\sigma^2\\right\\}\\) (todos los momentos finitos) - **No tiene FGM** (crece demasiado rápido)

Demostración de los momentos

Como \\(\\log X = Y \\sim N(\\mu, \\sigma^2)\\), la FGM de \\(Y\\) es \\(m\_Y(t) = e^{\\mu t + \\frac{1}{2}\\sigma^2 t^2}\\). Entonces \\(\\mathbb{E}\[X^r\] = \\mathbb{E}\[e^{rY}\] = m\_Y(r) = \\exp\\left\\{r\\mu + \\frac{1}{2}r^2\\sigma^2\\right\\}\\).

**¿Por qué la lognormal no tiene FGM si tiene todos los momentos finitos?**

La FGM es \\(m\_X(t) = \\mathbb{E}\[e^{tX}\]\\). Para la lognormal, \\(e^{tX}\\) crece como \\(e^{t e^Y}\\), que es super-exponencial. La integral diverge para cualquier \\(t > 0\\). Este es un contraejemplo clásico: tener todos los momentos finitos no garantiza la existencia de la FGM.

## Ejercicio

Sea \\(X\\) lognormal con \\(\\mu=1\\), \\(\\sigma=0.5\\). Calcule \\(\\mathbb{E}\[X\]\\) y \\(\\operatorname{var}(X)\\).

Usando las fórmulas de esta página: \\\[ \\mathbb{E}\[X\] = \\exp\\left\\{1 + \\frac{0.25}{2}\\right\\} = e^{1.125} \\approx 3.0802. \\\] \\\[ \\operatorname{var}(X) = (e^{0.25}-1)e^{2(1)+0.25} = (1.2840-1)(e^{2.25}) \\approx 0.2840\\times9.4877 \\approx 2.6948. \\\] Nótese que \\(\\operatorname{var}(X) \\approx 2.69\\) es menor que \\((\\mathbb{E}\[X\])^2\\approx9.49\\) aquí, pero para \\(\\sigma\\) más grande la varianza crece mucho más rápido que la media (por el factor \\(e^{\\sigma^2}\\)) — pruébelo en el simulador subiendo \\(\\sigma\\).