Para el **máximo** \(X_{(n)}\): \[ F_{X_{(n)}}(x) = [F(x)]^n, \quad f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) [F(x)]^{n-1} \] Para el **mínimo** \(X_{(1)}\): \[ F_{X_{(1)}}(x) = 1 - [1 - F(x)]^n, \quad f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) [1 - F(x)]^{n-1} \]

#### Distribuciones del mínimo y máximo para Uniforme(0,1)

n (tamaño de muestra):10

Demostración para el máximo

\\\[ \\begin{align\*} F\_{X\_{(n)}}(x) &= \\mathbb{P}(X\_{(n)} \\le x) = \\mathbb{P}(X\_1 \\le x, \\ldots, X\_n \\le x) \\\\ &= \\prod\_{i=1}^n \\mathbb{P}(X\_i \\le x) = \[F(x)\]^n \\end{align\*} \\\] Derivando: \\(f\_{X\_{(n)}}(x) = n f(x) \[F(x)\]^{n-1}\\)

**Ejemplo del PDF:** Para uniformes en (0,1), \\(F(x)=x\\). \\\[ f\_{X\_{(n)}}(x) = n x^{n-1}, \\quad 0 \\le x \\le 1 \\\] \\\[ f\_{X\_{(1)}}(x) = n (1-x)^{n-1}, \\quad 0 \\le x \\le 1 \\\] El mínimo tiende a 0 y el máximo tiende a 1 cuando \\(n\\) crece. ## Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 13, ej. 8) Sean \\(X\\) y \\(Y\\) variables aleatorias absolutamente continuas e independientes (no necesariamente idénticamente distribuidas). Defina \\(V=\\max\\{X,Y\\}\\). Demuestre que \\(f\_V(v) = f\_X(v)F\_Y(v) + F\_X(v)f\_Y(v)\\).

Como \\(X\\) y \\(Y\\) son independientes: \\\[ F\_V(v) = \\mathbb{P}(\\max\\{X,Y\\}\\le v) = \\mathbb{P}(X\\le v, Y\\le v) = F\_X(v)F\_Y(v). \\\] Derivando respecto a \\(v\\) con la regla del producto: \\\[ f\_V(v) = \\frac{d}{dv}\\left\[F\_X(v)F\_Y(v)\\right\] = f\_X(v)F\_Y(v) + F\_X(v)f\_Y(v). \\\] Este resultado generaliza la fórmula del máximo dada arriba: cuando \\(X\\) y \\(Y\\) son además idénticamente distribuidas (\\(F\_X=F\_Y=F\\), \\(f\_X=f\_Y=f\\)), se reduce a \\(f\_V(v)=2f(v)F(v)\\), que coincide con \\(nf(x)\[F(x)\]^{n-1}\\) evaluado en \\(n=2\\).