Distribución del Mínimo y Máximo
Para el máximo \(X_{(n)}\):
\[
F_{X_{(n)}}(x) = [F(x)]^n, \quad f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) [F(x)]^{n-1}
\]
Para el mínimo \(X_{(1)}\):
\[
F_{X_{(1)}}(x) = 1 - [1 - F(x)]^n, \quad f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) [1 - F(x)]^{n-1}
\]
Distribuciones del mínimo y máximo para Uniforme(0,1)
10
Demostración para el máximo
\[ \begin{align*} F_{X_{(n)}}(x) &= \mathbb{P}(X_{(n)} \le x) = \mathbb{P}(X_1 \le x, \ldots, X_n \le x) \\ &= \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(X_i \le x) = [F(x)]^n \end{align*} \] Derivando: \(f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) [F(x)]^{n-1}\)Ejemplo del PDF: Para uniformes en (0,1), \(F(x)=x\). \[ f_{X_{(n)}}(x) = n x^{n-1}, \quad 0 \le x \le 1 \] \[ f_{X_{(1)}}(x) = n (1-x)^{n-1}, \quad 0 \le x \le 1 \] El mínimo tiende a 0 y el máximo tiende a 1 cuando \(n\) crece.