# Desigualdad de Chebyshev

<div class="taller" data-applet="cpii-des-chebyshev" id="bkmrk-desigualdad-de-cheby"><div class="taller-container"><div class="callout info">**Desigualdad de Chebyshev:** Sea \(X\) con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finitas. Entonces, para todo \(\epsilon &gt; 0\): \[ \mathbb{P}(|X - \mu| \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \] Equivalentemente, para \(k &gt; 0\): \[ \mathbb{P}(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}, \quad \mathbb{P}(|X - \mu| &lt; k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2} \] </div><div class="card">#### Visualización: Cota de Chebyshev vs probabilidad real

<div class="taller-controles"><label>Distribución:</label><select id="bkmrk-cpii-desigualdades-dist-chebyshev"><option value="normal">Normal(μ=0, σ=1)</option><option value="uniforme">Uniforme(-√3, √3)</option><option value="exponencial">Exponencial(1) centrada</option><option value="cauchy">Cauchy(0,1) - ¡sin varianza!</option></select><label>k (desviaciones):</label><span id="bkmrk-cpii-desigualdades-k-chebyshev-val">2.0</span><button class="button" id="bkmrk-cpii-desigualdades-verificar-chebyshev">Verificar</button></div><canvas class="taller-canvas" height="300" id="bkmrk-cpii-desigualdades-chebyshevCanvas" width="500"></canvas><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpii-desigualdades-chebyshev-resultado"></div></div><details class="callout warning"><summary>Demostración</summary>

Sea \\(Y = (X - \\mu)^2 \\ge 0\\). Aplicando Markov a \\(Y\\) con \\(c = \\epsilon^2\\): \\\[ \\mathbb{P}((X-\\mu)^2 \\ge \\epsilon^2) \\le \\frac{\\mathbb{E}\[(X-\\mu)^2\]}{\\epsilon^2} = \\frac{\\sigma^2}{\\epsilon^2} \\\] Como \\(\\{(X-\\mu)^2 \\ge \\epsilon^2\\} = \\{|X-\\mu| \\ge \\epsilon\\}\\), se obtiene el resultado. </details>**Ejemplo del PDF (tienda):** Número de clientes por día: media 20, desviación 2. \\\[ \\mathbb{P}(17 \\le X \\le 23) = \\mathbb{P}(|X-20| &lt; 3) \\ge 1 - \\frac{4}{9} \\approx 0.5556 \\\] Si usamos \\(k=2\\) (2 desviaciones): \\(\\mathbb{P}(|X-20| &lt; 4) \\ge 1 - 1/4 = 0.75\\)  
¡Chebyshev garantiza al menos 75% de probabilidad en el intervalo \[16,24\]!

<details class="callout info"><summary>**¿Qué pasa si aplicamos Chebyshev a una distribución Cauchy?**</summary>

La Cauchy no tiene varianza finita, por lo que **no se puede aplicar Chebyshev**. El simulador lo detectará y mostrará un mensaje de advertencia. Esto muestra que Chebyshev requiere varianza finita. </details>## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>El peso de los paquetes producidos por una fábrica tiene media 50 kg y desviación estándar 4 kg. Acote \\(\\mathbb{P}(|X-50|\\ge12)\\) usando Chebyshev, y exprese el resultado también en términos de un intervalo garantizado.</summary>

Con \\(\\sigma=4\\), \\(\\epsilon=12\\): \\\[ \\mathbb{P}(|X-50|\\ge12) \\le \\frac{\\sigma^2}{\\epsilon^2} = \\frac{16}{144} = \\frac{1}{9} \\approx 0.1111. \\\] Equivalentemente, con \\(k=\\epsilon/\\sigma=12/4=3\\) desviaciones estándar: \\\[ \\mathbb{P}(38 \\le X \\le 62) = \\mathbb{P}(|X-50|&lt;12) \\ge 1-\\frac{1}{9} = \\frac{8}{9} \\approx 0.8889. \\\] Sin conocer la forma exacta de la distribución de pesos, Chebyshev garantiza que al menos el 88.9% de los paquetes pesan entre 38 y 62 kg. </details></div></div>