# Covarianza y Correlación

<div class="taller" data-applet="cpii-ec-covarianza" id="bkmrk-la-covarianza-mide-l"><div class="taller-container"><div class="callout info">La **covarianza** mide la asociación lineal entre dos variables: \[ \operatorname{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] \] El **coeficiente de correlación** \(\rho = \frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\) está normalizado entre -1 y 1. </div><div class="card">#### Explora diferentes niveles de correlación

<div class="taller-controles"><label>Correlación ρ:</label><span id="bkmrk-cpii-esperanza-cov-rho-valor">0.80</span><button class="button" id="bkmrk-cpii-esperanza-cov-generar-muestra">Generar 200 puntos</button></div><canvas class="taller-canvas" height="400" id="bkmrk-cpii-esperanza-cov-correlacionCanvas" width="400"></canvas><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpii-esperanza-cov-rho-calculado" style="text-align:center;"></div></div>**Propiedades de la covarianza:**

- \\(\\operatorname{cov}(X,X) = \\operatorname{var}(X)\\)
- \\(\\operatorname{cov}(X,Y) = \\operatorname{cov}(Y,X)\\)
- \\(\\operatorname{cov}(aX, bY) = ab \\operatorname{cov}(X,Y)\\)
- \\(\\operatorname{cov}(X+Y, Z) = \\operatorname{cov}(X,Z) + \\operatorname{cov}(Y,Z)\\)
- Si \\(X \\perp Y\\), entonces \\(\\operatorname{cov}(X,Y)=0\\) (pero el recíproco no es cierto)

<div class="card">#### Contraejemplo: covarianza cero NO implica independencia

<table><tr><th>X\\Y</th><th>-1</th><th>0</th><th>1</th><th>P(X=x)</th></tr><tr><th>-1</th><td>1/3</td><td>0</td><td>1/3</td><td>2/3</td></tr><tr><th>1</th><td>0</td><td>1/3</td><td>0</td><td>1/3</td></tr><tr><th>P(Y=y)</th><td>1/3</td><td>1/3</td><td>1/3</td><td>1</td></tr></table>

<div id="bkmrk-cpii-esperanza-cov-contraejemplo-resultado" style="text-align:center;"></div><details class="callout info"><summary>**Verifica:** En esta tabla, \\(\\mathbb{E}\[X\]=-1/3\\), \\(\\mathbb{E}\[Y\]=0\\), \\(\\mathbb{E}\[XY\]=0\\). ¿Son independientes X e Y?</summary>

**No son independientes.** Por ejemplo, \\(f(-1,-1)=1/3\\) pero \\(f\_X(-1)f\_Y(-1) = (2/3)(1/3)=2/9\\). ¡Covarianza cero pero dependientes! </details></div>**Desigualdad de Cauchy-Schwarz:**\\\[ (\\mathbb{E}\[XY\])^2 \\le \\mathbb{E}\[X^2\]\\mathbb{E}\[Y^2\] \\\] De aquí se deduce que \\(|\\operatorname{corr}(X,Y)| \\le 1\\).

## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>Una urna tiene tres bolas numeradas 1, 2, 3. Se extraen dos bolas sin reemplazo. Sea \\(X\\) el número de la primera bola extraída y \\(Y\\) el de la segunda. Determine \\(\\operatorname{cov}(X,Y)\\) y \\(\\rho\_{XY}\\).</summary>

Hay 6 pares ordenados igualmente probables, cada uno con probabilidad 1/6: \\((1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\\). Por simetría, \\(X\\) y \\(Y\\) tienen marginal Uniforme Discreta en \\(\\{1,2,3\\}\\), así que \\(\\mathbb{E}\[X\]=\\mathbb{E}\[Y\]=2\\) y \\(\\mathbb{E}\[X^2\]=\\mathbb{E}\[Y^2\]=\\frac{1+4+9}{3}=\\frac{14}{3}\\), de donde \\(\\operatorname{var}(X)=\\operatorname{var}(Y)=\\frac{14}{3}-4=\\frac{2}{3}\\).   
  
Para \\(\\mathbb{E}\[XY\]\\), sumamos \\(xy\\) sobre los 6 pares: \\\[ \\mathbb{E}\[XY\] = \\frac{1\\cdot2+1\\cdot3+2\\cdot1+2\\cdot3+3\\cdot1+3\\cdot2}{6} = \\frac{22}{6} = \\frac{11}{3}. \\\] Entonces: \\\[ \\operatorname{cov}(X,Y) = \\mathbb{E}\[XY\]-\\mathbb{E}\[X\]\\mathbb{E}\[Y\] = \\frac{11}{3}-4 = -\\frac{1}{3}, \\qquad \\rho\_{XY} = \\frac{-1/3}{2/3} = -\\frac{1}{2}. \\\] La covarianza es negativa: si la primera bola extraída tiene un número alto, queda menos probabilidad de que la segunda también lo tenga (muestreo sin reemplazo). </details></div></div>