Covarianza y Correlación

La covarianza mide la asociación lineal entre dos variables:
\[
\operatorname{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]
\]
El coeficiente de correlación \(\rho = \frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\) está normalizado entre -1 y 1.
 

 
 Explora diferentes niveles de correlación 
 
 Correlación ρ: 
 
 0.80 
 Generar 200 puntos 
 
 
 
 

 Propiedades de la covarianza: 
 
 \(\operatorname{cov}(X,X) = \operatorname{var}(X)\) 
 \(\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(Y,X)\) 
 \(\operatorname{cov}(aX, bY) = ab \operatorname{cov}(X,Y)\) 
 \(\operatorname{cov}(X+Y, Z) = \operatorname{cov}(X,Z) + \operatorname{cov}(Y,Z)\) 
 Si \(X \perp Y\), entonces \(\operatorname{cov}(X,Y)=0\) (pero el recíproco no es cierto) 
 

 
 Contraejemplo: covarianza cero NO implica independencia 
 
 X\Y -1 0 1 P(X=x) 
 -1 1/3 0 1/3 2/3 
 1 0 1/3 0 1/3 
 P(Y=y) 1/3 1/3 1/3 1 
 
 
 
 Verifica: En esta tabla, \(\mathbb{E}[X]=-1/3\), \(\mathbb{E}[Y]=0\), \(\mathbb{E}[XY]=0\). ¿Son independientes X e Y? 
 No son independientes. Por ejemplo, \(f(-1,-1)=1/3\) pero \(f_X(-1)f_Y(-1) = (2/3)(1/3)=2/9\). ¡Covarianza cero pero dependientes!
 
 

 Desigualdad de Cauchy-Schwarz: 
\[
(\mathbb{E}[XY])^2 \le \mathbb{E}[X^2]\mathbb{E}[Y^2]
\]
De aquí se deduce que \(|\operatorname{corr}(X,Y)| \le 1\). 

 Ejercicio 

 
 Una urna tiene tres bolas numeradas 1, 2, 3. Se extraen dos bolas sin reemplazo. Sea \(X\) el número de la primera bola extraída y \(Y\) el de la segunda. Determine \(\operatorname{cov}(X,Y)\) y \(\rho_{XY}\). 
Hay 6 pares ordenados igualmente probables, cada uno con probabilidad 1/6: \((1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\). Por simetría, \(X\) y \(Y\) tienen marginal Uniforme Discreta en \(\{1,2,3\}\), así que \(\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[Y]=2\) y \(\mathbb{E}[X^2]=\mathbb{E}[Y^2]=\frac{1+4+9}{3}=\frac{14}{3}\), de donde \(\operatorname{var}(X)=\operatorname{var}(Y)=\frac{14}{3}-4=\frac{2}{3}\).
 
Para \(\mathbb{E}[XY]\), sumamos \(xy\) sobre los 6 pares:
\[
\mathbb{E}[XY] = \frac{1\cdot2+1\cdot3+2\cdot1+2\cdot3+3\cdot1+3\cdot2}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}.
\]
Entonces:
\[
\operatorname{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] = \frac{11}{3}-4 = -\frac{1}{3}, \qquad \rho_{XY} = \frac{-1/3}{2/3} = -\frac{1}{2}.
\]
La covarianza es negativa: si la primera bola extraída tiene un número alto, queda menos probabilidad de que la segunda también lo tenga (muestreo sin reemplazo).