# Comparación de Cotas: Markov vs Chebyshev vs Unilateral

<div class="taller" data-applet="cpii-des-comparacion" id="bkmrk-para-una-variable-po"><div class="taller-container"><div class="callout info">Para una variable positiva con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), comparamos las tres cotas: \[ \begin{aligned} \text{Markov: } &amp; \mathbb{P}(X \ge a) \le \frac{\mu}{a} \\ \text{Chebyshev: } &amp; \mathbb{P}(|X-\mu| \ge a) \le \frac{\sigma^2}{a^2} \\ \text{Cantelli: } &amp; \mathbb{P}(X-\mu \ge a) \le \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + a^2} \end{aligned} \] </div><div class="card">#### Comparación interactiva

<div class="taller-controles"><label>μ (media):</label><span id="bkmrk-cpii-desigualdades-mu-comp-val">5.0</span><label>σ (desviación):</label><span id="bkmrk-cpii-desigualdades-sigma-comp-val">2.0</span><label>a (umbral):</label><span id="bkmrk-cpii-desigualdades-a-comp-val">8.0</span><button class="button" id="bkmrk-cpii-desigualdades-comparar-cotas">Comparar cotas</button></div><div class="taller-formula" id="bkmrk-cpii-desigualdades-comparacion-resultado"></div><canvas class="taller-canvas" height="250" id="bkmrk-cpii-desigualdades-comparacionCanvas" width="500"></canvas></div>**Observaciones:**

- Markov solo usa la media, es la más débil pero requiere menos información.
- Chebyshev usa media y varianza, pero considera ambas colas.
- Cantelli (unilateral) es la más ajustada para una cola.
- Para variables simétricas, Chebyshev bilateral puede ser mejor para intervalos centrados.

<details class="callout info"><summary>**¿Cuál cota usarías para estimar el riesgo de pérdidas financieras?**</summary>

Para riesgos asimétricos (pérdidas), se usa la **desigualdad de Cantelli (unilateral)** porque solo nos interesa la cola inferior (pérdidas grandes). También existen desigualdades más avanzadas como Chernoff o Hoeffding. </details>## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>Sea \\(X\\) una variable positiva con \\(\\mu=10\\), \\(\\sigma=3\\). Calcule las tres cotas (Markov, Chebyshev, Cantelli) para \\(\\mathbb{P}(X\\ge25)\\) — es decir, con \\(a=25\\) para Markov y \\(a=25-10=15\\) para Chebyshev/Cantelli — y ordénelas de más débil a más ajustada.</summary>

**Markov** (usa \\(\\mathbb{P}(X\\ge a)\\) directamente con \\(a=25\\)): \\\[ \\mathbb{P}(X\\ge25) \\le \\frac{\\mu}{a} = \\frac{10}{25} = 0.4. \\\] **Chebyshev** (usa \\(a=X\\)-desplazamiento respecto a la media, \\(a=15\\)): \\\[ \\mathbb{P}(X\\ge25) = \\mathbb{P}(X-\\mu\\ge15) \\le \\mathbb{P}(|X-\\mu|\\ge15) \\le \\frac{\\sigma^2}{a^2} = \\frac{9}{225} = 0.04. \\\] **Cantelli** (con el mismo \\(a=15\\)): \\\[ \\mathbb{P}(X-\\mu\\ge15) \\le \\frac{\\sigma^2}{\\sigma^2+a^2} = \\frac{9}{9+225} = \\frac{9}{234} \\approx 0.0385. \\\] Ordenando de más débil a más ajustada: **Markov (0.4) &gt; Chebyshev (0.04) &gt; Cantelli (0.0385)**. Aquí Markov es dramáticamente más débil porque solo usa la media; Chebyshev y Cantelli, al incorporar la varianza, dan cotas mucho más informativas, y Cantelli es ligeramente mejor que Chebyshev por aprovechar que solo nos interesa una cola. </details></div></div>