# Caso continuo: densidad condicional y ley del estadístico inconsciente

<div class="taller" data-applet="cpii-dc-continuo" id="bkmrk-intuici%C3%B3n%3A-en-el-mun"><div class="taller-container"><div class="callout info">**Intuición:** En el mundo continuo, condicionar en un evento de probabilidad cero (Y=y) requiere límites. La densidad condicional \(f(x|y)\) es un "corte" de la superficie conjunta, normalizado. Piensa en la recta de regresión: la esperanza condicional \(E[X|Y=y]\) es la mejor predicción de X dado Y. </div><div class="card">#### Simulador: densidad condicional exponencial (ejemplo del PDF)

Densidad conjunta: \\( f(x,y) = \\frac{1}{y} e^{-x/y} e^{-y} \\), para \\(x&gt;0,y&gt;0\\). Dado \\(Y=y\\), \\(X|Y=y \\sim \\text{Exp}(1/y)\\).

<div class="taller-controles"><label for="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-yCond">Valor condicionante \\( y \\):</label><span class="taller-value" id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-yValDisplay">y = 2.0</span></div><button class="button" id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-sampleCondCont">Simular observación X | Y=y</button><canvas class="taller-canvas" height="200" id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-condDensityCanvas" width="400"></canvas></div><details class="callout info"><summary>Ver insight teórico</summary>

La densidad condicional es \\(f(x|y) = \\frac{1}{y} e^{-x/y}\\) (exponencial con media y). La esperanza condicional \\(E\[X|Y=y\]=y\\). Ley de esperanza total: \\(E\[X\] = E\[E\[X|Y\]\] = E\[Y\] = 1\\) (pues \\(Y \\sim Exp(1)\\)). Arrastra y observa cómo la curva se aplana o encoge. </details>**Notación continua:** \\( f\_{X|Y}(x|y) = \\frac{f(x,y)}{f\_Y(y)} \\). \\\[ \\mathbb{P}(a \\le X \\le b | Y=y) = \\int\_a^b f(x|y)dx,\\quad \\mathbb{E}\[X|Y=y\] = \\int x f(x|y)dx. \\\]

## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 3, ej. 1b) Las concentraciones de monóxido de carbono (X) y de bióxido de carbono (Y) en las emisiones de un coche elegido al azar siguen una distribución conjunta \\(f\_{X,Y}(x,y)=2e^{-x-y}\\mathbb{1}\_{\\{0\\le y&lt;x&lt;\\infty\\}}(x,y)\\). Si se observa una concentración de \\(Y=2\\), ¿cuál es la probabilidad de que la concentración de monóxido de carbono (X) sea mayor que 4?</summary>

Primero encontramos la marginal de \\(Y\\), integrando sobre \\(x\\) desde \\(y\\) hasta \\(\\infty\\) (por el soporte \\(x&gt;y\\)): \\\[ f\_Y(y) = \\int\_y^\\infty 2e^{-x-y}\\,dx = 2e^{-y}\\int\_y^\\infty e^{-x}\\,dx = 2e^{-y}\\cdot e^{-y} = 2e^{-2y}, \\quad y&gt;0. \\\] La densidad condicional es entonces: \\\[ f(x|y) = \\frac{f(x,y)}{f\_Y(y)} = \\frac{2e^{-x-y}}{2e^{-2y}} = e^{-(x-y)}, \\quad x&gt;y, \\\] es decir, \\((X-y)\\mid Y=y\\sim\\text{Exponencial}(1)\\) — la misma estructura de "exponencial desplazada" vista en el ejemplo de esta página. Entonces: \\\[ \\mathbb{P}(X&gt;4\\mid Y=2) = \\mathbb{P}(X-2&gt;2\\mid Y=2) = e^{-2} \\approx 0.1353. \\\] </details></div></div>