Para variables independientes, la densidad de la suma \(Z = X + Y\) es la **convolución**: \[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx = (f_X * f_Y)(z) \] En el caso discreto: \[ f_{X+Y}(z) = \sum_{x} f_X(x) f_Y(z-x) \]

#### Simulador: Suma de dos uniformes independientes en (0,1)

Derivación de la convolución

\\\[ \\begin{align\*} F\_Z(z) &= \\mathbb{P}(X+Y \\le z) = \\int\_{-\\infty}^{\\infty} \\int\_{-\\infty}^{z-x} f\_X(x)f\_Y(y) dy dx \\\\ &= \\int\_{-\\infty}^{\\infty} f\_X(x) F\_Y(z-x) dx \\\\ f\_Z(z) &= \\frac{d}{dz} F\_Z(z) = \\int\_{-\\infty}^{\\infty} f\_X(x) f\_Y(z-x) dx \\end{align\*} \\\]

**Ejemplo del PDF: Suma de dos Uniformes(0,1)**\\\[ f\_Z(z) = \\begin{cases} z & 0 \\le z < 1 \\\\ 2-z & 1 \\le z \\le 2 \\\\ 0 & \\text{otro caso} \\end{cases} \\\] Esta es la **distribución triangular** (Irwin-Hall con n=2).

**¿Qué forma tiene la suma de tres uniformes independientes?**

La suma de tres uniformes (Irwin-Hall con n=3) tiene una densidad formada por tres segmentos de parábola: \\\[ f\_Z(z) = \\begin{cases} \\frac{1}{2}z^2 & 0 \\le z < 1 \\\\ \\frac{1}{2}(-2z^2 + 6z - 3) & 1 \\le z < 2 \\\\ \\frac{1}{2}(3-z)^2 & 2 \\le z \\le 3 \\end{cases} \\\] En general, la suma de \\(n\\) uniformes se aproxima a una normal por el TCL.

## Ejercicio

(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 10, ej. 1) Sea \\(a\\) una constante. Demuestre que la diferencia de dos variables aleatorias independientes, ambas con distribución uniforme en el intervalo \\((a-1/2,a+1/2)\\), tiene función de densidad \\(f(u)=1-|u|\\) para \\(-1<u<1\\).

Sean \\(X,Y\\sim\\text{Unif}(a-1/2,a+1/2)\\) independientes, y \\(U=X-Y\\). La constante \\(a\\) se cancela por traslación: si \\(X'=X-a\\), \\(Y'=Y-a\\), entonces \\(X',Y'\\sim\\text{Unif}(-1/2,1/2)\\) y \\(U=X'-Y'\\), así que basta considerar \\(a=0\\). Usando la fórmula de convolución para la diferencia, \\(f\_U(u)=\\int f\_X(x)f\_Y(x-u)\\,dx\\), con \\(f\_X=f\_Y=\\mathbb{1}\_{(-1/2,1/2)}\\): \\\[ f\_U(u) = \\int\_{-1/2}^{1/2} \\mathbb{1}\_{(-1/2,1/2)}(x-u)\\,dx = \\text{longitud de } (-1/2,1/2)\\cap(u-1/2,u+1/2). \\\] Para \\(0\\le u<1\\), esta intersección es el intervalo \\((u-1/2,\\,1/2)\\), de longitud \\(1-u\\). Por simetría (\\(f\_U\\) es par, ya que \\(X-Y\\) y \\(Y-X\\) tienen la misma distribución), para \\(-1<u\\le0\\) la longitud es \\(1+u\\). En ambos casos, \\(f\_U(u)=1-|u|\\) para \\(-1<u<1\\).