# Esperanza y varianza condicional: leyes de la probabilidad total

<div class="taller" data-applet="cpii-dc-esperanza" id="bkmrk-intuici%C3%B3n%3A-la-espera"><div class="taller-container"><div class="callout info">**Intuición:** La esperanza condicional \(E[Y|X]\) es una variable aleatoria que resume la tendencia de Y cuando conocemos X. La Ley de Esperanza Total dice que en promedio, la predicción condicional da la media global. La Ley de Varianza Total descompone la varianza en "explicada" por X y "residual". </div><div class="card">#### Simulador: mezcla Poisson-Gamma (número de accidentes)

Supongamos \\(N|\\Lambda=\\lambda \\sim Poisson(\\lambda)\\) y \\(\\Lambda \\sim Gamma(\\alpha, \\beta)\\). Marginalmente \\(N \\sim\\) Binomial Negativa. Ajusta los parámetros y observa la esperanza condicional.

<div class="taller-controles"><label for="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-alphaGamma">\\(\\alpha\\) (forma):</label><span class="taller-value" id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-alphaVal">2.0</span></div><div class="taller-controles"><label for="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-betaGamma">\\(\\beta\\) (escala):</label><span class="taller-value" id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-betaVal">2.0</span></div>Media teórica de N: **-**

<button class="button" id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-simulateN">Generar muestra Λ y N | Λ</button>Valor simulado: <span id="bkmrk-cpii-distribuciones-condicionales-simValueN">-</span>

**Verificación de leyes:** \\(E\[N\] = E\[E\[N|\\Lambda\]\] = E\[\\Lambda\] = \\alpha\\beta\\). Varianza total: \\(Var(N) = E\[Var(N|\\Lambda)\] + Var(E\[N|\\Lambda\]) = E\[\\Lambda\] + Var(\\Lambda) = \\alpha\\beta + \\alpha\\beta^2\\).

</div><details class="callout info"><summary>Explicación interactiva</summary>

Usando la ley de esperanza total: \\(E\[N\] = E\[\\Lambda\] = \\alpha\\beta\\). La ley de varianza total separa la variabilidad entre individuos (diferente lambda) y la variabilidad Poisson pura. Juega con α y β para ver cómo cambia la media condicional y marginal. </details>**Teoremas clave:**\\\[ \\mathbb{E}\[Y\] = \\mathbb{E}\[\\mathbb{E}\[Y|X\]\], \\quad \\operatorname{Var}(Y) = \\mathbb{E}\[\\operatorname{Var}(Y|X)\] + \\operatorname{Var}(\\mathbb{E}\[Y|X\]). \\\]

## Ejercicio

<details class="callout info"><summary>(Barrios y colaboradores, Cuaderno de Ejercicios CP2, sección 4, ej. 3) Se tiran dos dados honestos y la suma de las caras se denota por \\(N\\). Luego se tira \\(N\\) veces una moneda cargada al águila con \\(p=0.55\\), y se denota por \\(Y\\) el número de águilas obtenidas. Determine \\(\\mathbb{E}\[Y\]\\) y \\(\\operatorname{Var}(Y)\\).</summary>

Dado \\(N\\), \\(Y|N=n\\sim\\text{Bin}(n,0.55)\\), así que \\(\\mathbb{E}\[Y|N\]=0.55N\\) y \\(\\operatorname{Var}(Y|N)=0.55(0.45)N\\). Para \\(N\\), la suma de dos dados: \\(\\mathbb{E}\[N\]=7\\), \\(\\operatorname{Var}(N)=2\\cdot\\frac{35}{12}=\\frac{35}{6}\\approx5.833\\) (varianza de un dado: \\(\\frac{35}{12}\\), y los dos dados son independientes).   
  
Por la ley de esperanza total: \\\[ \\mathbb{E}\[Y\] = \\mathbb{E}\[\\mathbb{E}\[Y|N\]\] = \\mathbb{E}\[0.55N\] = 0.55(7) = 3.85. \\\] Por la ley de varianza total: \\\[ \\operatorname{Var}(Y) = \\mathbb{E}\[\\operatorname{Var}(Y|N)\] + \\operatorname{Var}(\\mathbb{E}\[Y|N\]) = 0.55(0.45)\\mathbb{E}\[N\] + 0.55^2\\operatorname{Var}(N) \\\] \\\[ = 0.2475(7) + 0.3025\\left(\\frac{35}{6}\\right) \\approx 1.7325 + 1.7646 = 3.4971. \\\] </details></div></div>