Desigualdad de Jensen

Desigualdad de Jensen: Si \(h\) es una función convexa , entonces
\[
\mathbb{E}[h(X)] \ge h(\mathbb{E}[X])
\]
Si \(h\) es cóncava , la desigualdad se invierte:
\[
\mathbb{E}[h(X)] \le h(\mathbb{E}[X])
\]
 

 
 Verificación de Jensen para diferentes funciones 
 
 Función h(x): 
 
 h(x) = x² (convexa) 
 h(x) = eˣ (convexa) 
 h(x) = log(x) (cóncava, x>0) 
 h(x) = √x (cóncava, x≥0) 
 
 Distribución de X: 
 
 Uniforme(0,1) 
 Normal(0,1) 
 Exponencial(1) 
 
 Verificar Jensen 
 
 
 
 

 
 Demostración geométrica 
Para una función convexa \(h\), existe una recta soporte \(\ell(x) = a + bx\) que pasa por \((\mathbb{E}[X], h(\mathbb{E}[X]))\) y satisface \(h(x) \ge \ell(x)\) para todo \(x\).
 
Tomando esperanza:
\[
\mathbb{E}[h(X)] \ge \mathbb{E}[\ell(X)] = a + b\mathbb{E}[X] = \ell(\mathbb{E}[X]) = h(\mathbb{E}[X])
\]
 

 Ejemplo del PDF: Sea \(X \sim \text{Unif}(0,1)\). \(h(x) = x^2\) (convexa).
\[
\mathbb{E}[X] = \frac{1}{2}, \quad h(\mathbb{E}[X]) = \frac{1}{4}
\]
\[
\mathbb{E}[h(X)] = \mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \ge 0.25
\]
¡Se cumple la desigualdad! 

 
 Aplicación importante: ¿Qué dice Jensen sobre \(\mathbb{E}[1/X]\) vs \(1/\mathbb{E}[X]\)? 
La función \(h(x) = 1/x\) es convexa para \(x > 0\). Por Jensen:
\[
\mathbb{E}[1/X] \ge 1/\mathbb{E}[X]
\]
Esto es útil en finanzas (el rendimiento esperado de un activo no es el recíproco del rendimiento esperado de su inverso).
 

 Ejercicio 

 
 Sea \(X\sim\text{Exponencial}(\lambda=1)\) y \(h(x)=\sqrt{x}\) (cóncava para \(x\ge0\)). Verifique la desigualdad de Jensen calculando \(\mathbb{E}[\sqrt{X}]\) y \(\sqrt{\mathbb{E}[X]}\). 
Como \(X\sim\text{Exp}(1)=\text{Gamma}(\alpha=1,\lambda=1)\), \(\mathbb{E}[X]=1\), así que \(\sqrt{\mathbb{E}[X]}=1\).
 
Para \(\mathbb{E}[\sqrt{X}]=\mathbb{E}[X^{1/2}]\), usamos la fórmula general de momentos de la Gamma (vista en el capítulo de FGM), \(\mathbb{E}[Y^a]=\beta^a\Gamma(\alpha+a)/\Gamma(\alpha)\), con \(\alpha=1\), \(\beta=1\), \(a=1/2\):
\[
\mathbb{E}[\sqrt{X}] = \Gamma(1.5) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0.8862.
\]
Como \(h\) es cóncava, Jensen predice \(\mathbb{E}[h(X)]\le h(\mathbb{E}[X])\), y efectivamente:
\[
\mathbb{E}[\sqrt{X}] \approx 0.8862 \le 1 = \sqrt{\mathbb{E}[X]}.
\]
Se cumple la desigualdad, con una brecha considerable — la raíz cuadrada "comprime" los valores grandes de \(X\) más de lo que "expande" los pequeños, así que promediar después de aplicar \(\sqrt{\cdot}\) da un valor menor que aplicar \(\sqrt{\cdot}\) después de promediar.